この記事は、最近twitterで公開した次の問題の解答について解説します。
フォロワー
— apu (@apu_yokai) December 29, 2021人突破記念問題!
図のように正三角形の辺を等分した点と頂点をつなぐ線分を引き、正三角形の内部の交点の数を とします。同様に正三角形の辺を 等分した点と頂点をつなぐ線分を引き、正三角形の内部の交点の数を とします。 はいくつ? pic.twitter.com/OyH8MkT3HA
図のように正三角形の辺を
問題
この記事では、正三角形の辺を
そうすると、
ですから、
を求めることになります。
いきなり解いてもいいのですが、小さい数から試してみると、ちょっと面白い現象が起きることに気が付きます。
1等分(0点)・2等分(1点)
3等分(12点)・4等分(13点)
5等分(48点)・6等分(49点)
7等分(108点)・8等分(109点)
9等分(192点)・10等分(193点)
ここまでの結果を表にしてみましょう。
1 | 0 |
2 | 1 |
3 | 12 |
4 | 13 |
5 | 48 |
6 | 49 |
7 | 108 |
8 | 109 |
9 | 192 |
10 | 193 |
ここまでは全部、
そうすると、この後もずっとこの法則が成り立つのではないか、と予想できます。
実際にはどうなんでしょうか?
残念ながら、
最初の例外は
15等分(576点)・16等分(589点)
あらためて、問題を解くための方針を考えます。
まず、異なる頂点を通る線分を
それぞれの頂点からは
となります。
正三角形内部の交点には、
そこで、
3つの線分が1点で集まる位置
15 | 16 | |
---|---|---|
576 | 589 | |
588 | 675 | |
6 | 43 |
しかし、3つの線分が1点で交わっているかどうかを確かめるにはどうすればいいのでしょうか。
それには、チェバの定理を使うのが便利です。
三角形
チェバの定理
準備が整ったので、後は計算を進めましょう。
チェバの定理により、
となるような
対称性を考えて、
しらみつぶしに調べてみると、条件を満たす組み合わせは存在しないことがわかります。
チェバの定理により、
となるような
対称性を考えて、
しらみつぶしに調べてみると、条件を満たす組み合わせは次のとおりです。
正三角形の中心に
対称性から、交点の数は全部で
とわかります。
以上より
したがって求める交点の差は
というわけで、答えは1でした!
今回は、フォロワー
答えの図
— apu (@apu_yokai) December 30, 2021
A=2700
B=2701
で、問題の答えは
B-A=1
でした!
2700を超えたのも、1人1人のフォローのおかげです!
今後ともよろしくお願いします!🙇♂️ pic.twitter.com/VCS3tEsS36
なお、この記事は
あけましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いします!