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高校数学解説
文献あり

(x^2+px+q)(x^2+qx+p)=0の解の個数の分類

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注意: この記事には大学入学共通テストのネタバレが含まれます。

イントロダクション

2022年の大学入学共通テストで、こんな問題がありました。

x2+px+q=0 (1)
x2+qx+p=0 (2)

(1)または(2)を満たす実数xの個数nについて調べよう!(超要約)

実際の問題ではp=4,q=4のような特定の場合やp=6に固定した場合のみを調べていました。

でも、せっかくなら全部調べたいですね。

この記事では、導出とともに、pq平面をnの値で分割した図を示します。

片方だけ

x2+px+q=0について考えると、

p24q>0のとき2
p24q=0のとき1
p24q<0のとき0

であることは容易にわかります。

同様に、x2+qx+p=0について考えると、

q24p>0のとき2
q24p=0のとき1
q24p<0のとき0

であることも容易にわかります。

両方合わせる

上で求めた個数を足し合わせればいいかというと、そういうわけではありません。なぜなら、(1)と(2)に共通の解が含まれる可能性があるからです。この解をαとすると、

α2+pα+q=0かつα2+qα+p=0なので
ここからα2を消去しpα+q=qα+p
これを変形して(pq)(α1)=0

が得られます(同様の推論が実際の問題でも行われています)。

このとき、p=qまたはα=1ですが、p=qのときは両方の方程式が同じになるケースです。α=1について考えると、このときp+q+1=0となることがわかります。

図示

「片方だけ」で現れた境界と「両方合わせる」で現れた線を全て同一平面上に描くと、次の図が得られます。横軸がpで、縦軸がqです(最初の条件がp,qに関して対称なので、図も右上がりの斜め線に関して対称です)。

!FORMULA[36][-1555094941][0] n

これらの各領域およびその境界について考えると、最終的な色分けは次のようになります。n=0は白、n=1はオレンジ、n=2は緑、n=3は青、n=4は赤で示されています。

!FORMULA[42][1436625801][0] npq

p=6のとき、n=3になるのがq=5,9のときだけであることが見て取れますね。

参考文献

投稿日:2022116
OptHub AI Competition

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nayuta_ito
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  1. イントロダクション
  2. 片方だけ
  3. 両方合わせる
  4. 図示
  5. 参考文献