(x^2+px+q)(x^2+qx+p)=0の解の個数の分類

イントロダクション

2022年の大学入学共通テストで、こんな問題がありました。

$$x^2+px+q=0 \cdots \cdots \cdots (1)$$
$$x^2+qx+p=0 \cdots \cdots \cdots (2)$$

(1)または(2)を満たす実数$x$の個数$n$について調べよう！(超要約)

実際の問題では$p=4,q=-4$のような特定の場合や$p=-6$に固定した場合のみを調べていました。

でも、せっかくなら全部調べたいですね。

この記事では、導出とともに、$pq$平面を$n$の値で分割した図を示します。

片方だけ

$x^2+px+q=0$について考えると、

$p^2-4q>0$のとき$2$個
$p^2-4q=0$のとき$1$個
$p^2-4q<0$のとき$0$個

であることは容易にわかります。

同様に、$x^2+qx+p=0$について考えると、

$q^2-4p>0$のとき$2$個
$q^2-4p=0$のとき$1$個
$q^2-4p<0$のとき$0$個

であることも容易にわかります。

両方合わせる

上で求めた個数を足し合わせればいいかというと、そういうわけではありません。なぜなら、(1)と(2)に共通の解が含まれる可能性があるからです。この解を$\alpha$とすると、

${\alpha }^2+p\alpha +q=0$かつ${\alpha }^2+q\alpha +p=0$なので
ここから${\alpha }^2$を消去し$p\alpha +q=q\alpha +p$
これを変形して$(p-q)(\alpha -1)=0$

が得られます(同様の推論が実際の問題でも行われています)。

このとき、$p=q$または$\alpha =1$ですが、$p=q$のときは両方の方程式が同じになるケースです。$\alpha =1$について考えると、このとき$p+q+1=0$となることがわかります。

図示

「片方だけ」で現れた境界と「両方合わせる」で現れた線を全て同一平面上に描くと、次の図が得られます。横軸が$p$で、縦軸が$q$です(最初の条件が$p,q$に関して対称なので、図も右上がりの斜め線に関して対称です)。

$nの値の境界線の候補$

これらの各領域およびその境界について考えると、最終的な色分けは次のようになります。$n=0$は白、$n=1$はオレンジ、$n=2$は緑、$n=3$は青、$n=4$は赤で示されています。

$nの値によるpq平面の分類$

$p=-6$のとき、$n=3$になるのが$q=5,9$のときだけであることが見て取れますね。