Fibonacci 数を含む無限連分数

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連分数-9
前提知識 : 特に無し.

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Fibonacci 数

お久振りです. 今回の記事は, 以前に見付けたとある連分数のご紹介になります.

通例に従い, Fibonacci 数列 $(F_{n})_{n \in Z}$ を
$\begin{array}{r} F_{0} = 0, F_{1} = 1, F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n} \end{array}$
の漸化式によって定義する. 即ち Fibonacci 数列とは, このような整数の羅列である.
$\begin{array}{r} \dots 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \dots . \end{array}$

加法定理

あらゆる整数 $m, n$ にたいして, 等式 $F_{m + n + 1} = F_{m + 1} F_{n + 1} + F_{m} F_{n}$ が成立つ.

帰納法に依る (略).

扇形積の等式

あらゆる整数 $l, m, n$ にたいして, 等式 $F_{n + l} F_{n + m} - F_{n} F_{n + l + m} = (- 1)^{n} F_{l} F_{m}$ が成立つ.

代りに, 命題
$\begin{array}{r} a + b = c + d ⟹ F_{a} F_{b} - F_{c} F_{d} = (- 1)^{n} (F_{a - n} F_{b - n} - F_{c - n} F_{d - n}) \end{array}$
を証明する. $n = 1$ および $n = - 1$ にたいしては, この等式は加法定理から自明に成立し, また $| n | \neq 1$ なる場合には, $n = 1$ あるいは $n = - 1$ に対応する命題を繰返し適用すれば証明がなされる. 故にこの命題は真であり, これに $a = n + l,$ $b = n + m,$ $c = n,$ $d = n + l + m$ を代入すれば
$\begin{array}{r} F_{n + l} F_{n + m} - F_{n} F_{n + l + m} = (- 1)^{n} (F_{l} F_{m} - F_{0} F_{l + m}) = (- 1)^{n} F_{l} F_{m} \end{array}$
を得て, 示すべき等式に達する. $◻$

あらゆる整数 $n$ にたいして, 等式 $F_{n}^{4} - 1 = F_{n + 2} F_{n + 1} F_{n - 1} F_{n - 2}$ が成立つ

先の命題の系として
$\begin{aligned} F_{n + 1} F_{n - 1} - F_{n}^{2} = (- 1)^{n}, \\ F_{n + 2} F_{n - 2} - F_{n}^{2} = - (- 1)^{n} \end{aligned}$
の二式が成立する. これを用いれば, $F_{n}^{4} - 1$ は
$\begin{aligned} F_{n}^{4} - 1 & = (F_{n}^{2} + (- 1)^{n}) (F_{n}^{2} - (- 1)^{n}) \\ = F_{n + 2} F_{n + 1} F_{n - 1} F_{n - 2} \end{aligned}$
と因子分解される. $◻$

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Fibonacci 数を含む無限連分数

今回の連分数は, 次に示す等式から構成されるものである.

あらゆる整数 $m, n$ にたいして, 等式 $F_{m + n + 2} = F_{m + 2} F_{n + 2} - F_{m} F_{n}$ が成立つ.

帰納法に依る (略).

先述の定理の式
$\begin{array}{r} F_{n + l} F_{n + m} - F_{n} F_{n + l + m} = (- 1)^{n} F_{l} F_{m} \end{array}$
に $n = 2$ を代入しても得られる. $◻$

今の命題の式に $m = i + 1, n = i$ を代入し, 両辺を $F_{i + 3} F_{i}$ によって割れば
$\begin{aligned} F_{2 i + 3} = F_{i + 3} F_{i + 2} - F_{i + 1} F_{i}, \\ \frac{F_{2 i + 3}}{F_{i + 3} F_{i}} = \frac{F_{i + 2}}{F_{i}} - \frac{F_{i + 1}}{F_{i + 3}} \end{aligned}$
を得られる. ここにおいて $a_{i} = F_{2 i + 3} / (F_{i + 3} F_{i}),$ $b_{i} = F_{i + 2} / F_{i}$ と改める. 然らば
$\begin{array}{r} b_{i} = a_{i} + \frac{1}{b_{i + 1}} \end{array}$
が成立ち, 従って
$\begin{aligned} 2 = b_{1} & = a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{a_{3} + \frac{1}{⋱}}} \\ = \frac{F_{5}}{F_{4} F_{1}} + \frac{1}{\frac{F_{7}}{F_{5} F_{2}} + \frac{1}{\frac{F_{9}}{F_{6} F_{3}} + \frac{1}{⋱}}} \\ = \frac{F_{5}}{F_{4} F_{1}} + \frac{F_{5} F_{2}}{F_{7} + \frac{F_{6} F_{5} F_{3} F_{2}}{F_{9} + \frac{F_{7} F_{6} F_{4} F_{3}}{⋱}}} . \end{aligned}$
である. 両辺に $F_{4} F_{1}$ を乗じて整えれば
$\begin{aligned} 1 & = \frac{F_{5} F_{4} F_{2} F_{1}}{F_{7} + \frac{F_{6} F_{5} F_{3} F_{2}}{F_{9} + \frac{F_{7} F_{6} F_{4} F_{3}}{⋱}}} \\ = \frac{F_{3}^{4} - 1}{F_{7} + \frac{F_{4}^{4} - 1}{F_{9} + \frac{F_{5}^{4} - 1}{⋱}}} \\ = \frac{2^{4} - 1}{13 + \frac{3^{4} - 1}{34 + \frac{5^{4} - 1}{89 + \frac{8^{4} - 1}{⋱}}}} \end{aligned}$
となる. 実際, 途中において得られる各 $1$ の表示分数は, 収束子との誤差が $0$ に漸近してゆくように出来ている. 故に収束性も確かである.

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投稿日：2022年1月16日

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ゆう

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好きな整数は 0, 1, 1, φ, 2, 5, 6, 12, 89 など. || フィボナッチ数列 bot (@Aureus_N) 管理人. || hatena blog || indeterminate equations involving Fibonacci numbers || Disquisitiones Arithmeticae...

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