自作問題置き場 2022年1月

とりあえず、自作の問題を置いておく。

問題

解答と解説

こちらで想定した解法を示す。もっとよい解き方があるかもしれない。

問題1

自然数 $n$ に対して、$(a+b)^n \pm (a-b)^n$ を計算すると、前項、後項それぞれを二項展開したときの奇数番目の項、もしくは偶数番目の項が相殺される、というのを使うだろうな、というのと、3 乗根を取るってことは、中は $a,b$ の 3 次式じゃないかな、ということで、初手は、
\begin{align} 10001^3+101^6&=10001^3+(101^2)^3=10001^3+10201^3 \\ &=(10101-100)^3+(10101+100)^3 = 2\left\{ 10101^3 + 3\cdot10101\cdot100^2\right\} \\ &=2\left\{ 10101^3 + 3\cdot101010000 \right\} . \end{align}
したがって、
\begin{align} \frac{10001^3+101^6+101\cdot6}{2}&= 10101^3 + 3\cdot101010101 \; . \end{align}

ところで、$\frac{p^n-1}{p-1}$ は $p$ 進数における $n$ 番目のレピュニット数なので、
$\frac{10^{10}-1}{10^2-1}$ は、$100$ 進数における $5$ 番目のレピュニット数、すなわち、$101010101$ なので

\begin{align} \sqrt[3]{\frac{10001^3+101^6+101\cdot6}{2}-3\cdot\frac{10^{10}-1}{10^2-1}} &= \sqrt[3]{10101^3} = 10101 . \end{align}

問題2

普通に通分していくと自動的に解けてしまうのだが、途中でソフィー・ジェルマンの恒等式を利用して計算を楽にできる。

\begin{align} 与式 &= \frac{11}{\sqrt[4]{2}}\cdot\left\{\frac{\sqrt{6}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8}\right)^2+3}-\frac{\sqrt{6}}{3+\left(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3}\right)^2}\right\} \\ &= \frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot\frac{\left(3+\left(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3}\right)^2\right)-\left(\left(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8}\right)^2+3\right) }{\left(\left(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8}\right)^2+3\right) \left(3+\left(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3}\right)^2\right)} \\ &= \frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot\frac{\left(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3}\right)^2-\left(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8}\right)^2 }{\left(\left(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8}\right)^2+3\right) \left(3+\left(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3}\right)^2\right)} \;. \end{align}

ここで $a=\sqrt[4]{8}=2^{\frac{3}{4}}, b=\sqrt[4]{9}=\sqrt{3}=3^{\frac{2}{4}}$ と置くと、$a^4=8, b^4=9 なので、$
\begin{align} 与式 &= \frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot\frac{\left(b+a\right)^2-\left(b-a\right)^2 }{\left(\left(a-b\right)^2+b^2\right) \left(b^2+\left(a+b\right)^2\right)} = \frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot\frac{4ab}{a^4+4b^4} \\ &= \frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot\frac{4ab}{8+4\cdot9} = \frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot\frac{4ab}{44} = \frac{\sqrt{6}ab}{\sqrt[4]{2}} = \frac{\left(2\cdot3\right)^{\frac{2}{4}}\cdot3^{\frac{2}{4}}\cdot2^{\frac{3}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}} = 6 \;. \end{align}

ソフィー・ジェルマンの恒等式を使わない場合は、

\begin{align} 与式 &= \frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot\frac{\left(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3}\right)^2-\left(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8}\right)^2 }{\left(\left(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8}\right)^2+3\right) \left(3+\left(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3}\right)^2\right)} \\ &= \frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot\frac{4\sqrt[4]{8}\sqrt{3}}{3^2 + 3\left(\left(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8}\right)^2+\left(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3}\right)^2\right) + \left(\left(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8}\right)\left(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3}\right)\right)^2} \\ &= \frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot\frac{4\sqrt[4]{8}\sqrt{3}}{9 + 3\cdot2\left(\sqrt{3}^2+\sqrt[4]{8}^2\right) + \left(\sqrt{3}^2-\sqrt[4]{8}^2\right)^2} \\ &= \frac{44\sqrt{18}\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{2}}\cdot\frac{1}{9 + 3\cdot2\left(3+\sqrt{8}\right) + \left(3-\sqrt{8}\right)^2} = \frac{44\sqrt{18}\sqrt[4]{4}}{9 + 3\cdot2\left(3+\sqrt{8}\right) + \left(9 - 6\sqrt{8} + 8\right) } \\ &= \frac{44\sqrt{18}\sqrt{2}}{9 + 18 + 6\sqrt{8} + 9 - 6\sqrt{8} + 8 }= \frac{44\sqrt{36}}{44} = 6 \;. \end{align}

問題3

ソフィー・ジェルマンの恒等式を使うことを想定した素因数分解。
\begin{align} 10240081 &= 1024 \times 10^4 + 81 = 2^{10} \times 10^4+3^4= 2^2\times\left(2^2 \times 10\right)^4 + 3^4 \\ &= 4\times40^4+3^4 = \left( 3^2 + 2\cdot3\cdot40+ 2\cdot40^2\right)\times\left( 3^2 - 2\cdot3\cdot40+ 2\cdot40^2\right) \\ &= \left(9 + 240+ 3200\right)\times\left(9 - 240+ 3200\right) = 3449\times2969 \\ 642401 &= 64 \times 10^4 + 2401 = 2^{6} \times 10^4+7^4= 4\times 20^4 + 7^4 \\ &= \left( 7^2 + 2\cdot7\cdot20+ 2\cdot20^2\right)\times\left( 7^2 - 2\cdot7\cdot20+ 2\cdot20^2\right) \\ &= \left(49 + 280+ 800\right)\times\left(49 - 280+ 800\right) = 1129\times569\;. \end{align}