自作問題置き場 2022年1月

とりあえず、自作の問題を置いておく。

問題

解答と解説

こちらで想定した解法を示す。もっとよい解き方があるかもしれない。

問題1

自然数 $n$ に対して、$(a+b{)}^n\pm (a-b{)}^n$ を計算すると、前項、後項それぞれを二項展開したときの奇数番目の項、もしくは偶数番目の項が相殺される、というのを使うだろうな、というのと、3 乗根を取るってことは、中は $a,b$ の 3 次式じゃないかな、ということで、初手は、
$$\begin{array}{rl}{10001}^3+{101}^6& ={10001}^3+({101}^2{)}^3={10001}^3+{10201}^3\\ & =(10101-100{)}^3+(10101+100{)}^3=2\{{10101}^3+3\cdot 10101\cdot {100}^2\}\\ & =2\{{10101}^3+3\cdot 101010000\}.\end{array}$$
したがって、
$$\begin{array}{rl}\frac{{10001}^3+{101}^6+101\cdot 6}{2}& ={10101}^3+3\cdot 101010101.\end{array}$$

ところで、$\frac{p^n-1}{p-1}$ は $p$ 進数における $n$ 番目のレピュニット数なので、
$\frac{{10}^{10}-1}{{10}^2-1}$ は、$100$ 進数における $5$ 番目のレピュニット数、すなわち、$101010101$ なので

$$\begin{array}{rl}\sqrt[3]{\frac{{10001}^3+{101}^6+101\cdot 6}{2}-3\cdot \frac{{10}^{10}-1}{{10}^2-1}}& =\sqrt[3]{{10101}^3}=10101.\end{array}$$

問題2

普通に通分していくと自動的に解けてしまうのだが、途中でソフィー・ジェルマンの恒等式を利用して計算を楽にできる。

$$\begin{array}{rl}与式& =\frac{11}{\sqrt[4]{2}}\cdot \{\frac{\sqrt{6}}{{(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8})}^2+3}-\frac{\sqrt{6}}{3+{(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3})}^2}\}\\ & =\frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot \frac{(3+{(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3})}^2)-({(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8})}^2+3)}{({(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8})}^2+3)(3+{(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3})}^2)}\\ & =\frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot \frac{{(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3})}^2-{(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8})}^2}{({(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8})}^2+3)(3+{(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3})}^2)}.\end{array}$$

ここで $a=\sqrt[4]{8}=2^{\frac{3}{4}},b=\sqrt[4]{9}=\sqrt{3}=3^{\frac{2}{4}}$ と置くと、$a^4=8,b^4=9なので、$
$$\begin{array}{rl}与式& =\frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot \frac{{(b+a)}^2-{(b-a)}^2}{({(a-b)}^2+b^2)(b^2+{(a+b)}^2)}=\frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot \frac{4ab}{a^4+4b^4}\\ & =\frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot \frac{4ab}{8+4\cdot 9}=\frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot \frac{4ab}{44}=\frac{\sqrt{6}ab}{\sqrt[4]{2}}=\frac{{(2\cdot 3)}^{\frac{2}{4}}\cdot 3^{\frac{2}{4}}\cdot 2^{\frac{3}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}}=6.\end{array}$$

ソフィー・ジェルマンの恒等式を使わない場合は、

$$\begin{array}{rl}与式& =\frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot \frac{{(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3})}^2-{(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8})}^2}{({(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8})}^2+3)(3+{(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3})}^2)}\\ & =\frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot \frac{4\sqrt[4]{8}\sqrt{3}}{3^2+3({(\sqrt{3}-\sqrt[4]{8})}^2+{(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3})}^2)+{\left((\sqrt{3}-\sqrt[4]{8})(\sqrt[4]{8}+\sqrt{3})\right)}^2}\\ & =\frac{11\sqrt{6}}{\sqrt[4]{2}}\cdot \frac{4\sqrt[4]{8}\sqrt{3}}{9+3\cdot 2({\sqrt{3}}^2+{\sqrt[4]{8}}^2)+{({\sqrt{3}}^2-{\sqrt[4]{8}}^2)}^2}\\ & =\frac{44\sqrt{18}\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{2}}\cdot \frac{1}{9+3\cdot 2(3+\sqrt{8})+{(3-\sqrt{8})}^2}=\frac{44\sqrt{18}\sqrt[4]{4}}{9+3\cdot 2(3+\sqrt{8})+(9-6\sqrt{8}+8)}\\ & =\frac{44\sqrt{18}\sqrt{2}}{9+18+6\sqrt{8}+9-6\sqrt{8}+8}=\frac{44\sqrt{36}}{44}=6.\end{array}$$

問題3

ソフィー・ジェルマンの恒等式を使うことを想定した素因数分解。
$$\begin{array}{rl}10240081& =1024\times {10}^4+81=2^{10}\times {10}^4+3^4=2^2\times {(2^2\times 10)}^4+3^4\\ & =4\times {40}^4+3^4=(3^2+2\cdot 3\cdot 40+2\cdot {40}^2)\times (3^2-2\cdot 3\cdot 40+2\cdot {40}^2)\\ & =(9+240+3200)\times (9-240+3200)=3449\times 2969\\ 642401& =64\times {10}^4+2401=2^6\times {10}^4+7^4=4\times {20}^4+7^4\\ & =(7^2+2\cdot 7\cdot 20+2\cdot {20}^2)\times (7^2-2\cdot 7\cdot 20+2\cdot {20}^2)\\ & =(49+280+800)\times (49-280+800)=1129\times 569.\end{array}$$