約数関数を下から評価する

aをnによって定まる定数とすると,約数関数は
$$\sigma _x(n)=n^x+a+1\quad(n \geq2)$$
と表すことができ,定数aは
$$ a= \sum_{i=1}^{\sigma_0(n)-2}a_i ^x\quad(\sigma_0(n)-2 \geq0) $$

と表せる.ここで$a_i $は互いに異なる1または$n$ではない$n$の正の約数である.
$\sigma_0(n)-2\geq1$のとき,相加相乗平均の関係式より
$$ a = \sum_{i=1}^{\sigma_0(n)-2}a_i ^x\geq (\sigma_0(n)-2) \prod_{i=1}^{\sigma_0(n)-2}a_i^ \frac{x}{\sigma_0(n)-2} = (\sigma_0(n)-2)n^\frac{x(\sigma_0(n)-2)}{2(\sigma_0(n)-2)}=(\sigma_0(n)-2) n^{\frac{x}{2}}$$
よって
$$ \sigma _x(n) \geq n^x+(\sigma_0(n)-2)n^{\frac{x}{2}}+1\quad(\sigma_0(n)-2\geq1)$$
$ \sigma_0(n)-2=0$すなわち$n$が素数のとき, $\sigma_x(n) \geq n^x+1 $となり成り立つ.
また$n=1$のとき偶然にも$a=-1$となり成り立つ.
よって任意の自然数$n$で
$$ \sigma_x(n)\geq n^x+(\sigma_0(n)-2)n^{\frac{x}{2}}+1$$
が成立する.