約数関数の下からの評価についてσx(n)≥nx+(σ0(n)−2)nx2+1となることを示す.
aをnによって定まる定数とすると,約数関数はσx(n)=nx+a+1(n≥2)と表すことができ,定数aはa=∑i=1σ0(n)−2aix(σ0(n)−2≥0)
と表せる.ここでaiは互いに異なる1またはnではないnの正の約数である.σ0(n)−2≥1のとき,相加相乗平均の関係式よりa=∑i=1σ0(n)−2aix≥(σ0(n)−2)∏i=1σ0(n)−2aixσ0(n)−2=(σ0(n)−2)nx(σ0(n)−2)2(σ0(n)−2)=(σ0(n)−2)nx2よってσx(n)≥nx+(σ0(n)−2)nx2+1(σ0(n)−2≥1)σ0(n)−2=0すなわちnが素数のとき, σx(n)≥nx+1となり成り立つ. またn=1のとき偶然にもa=−1となり成り立つ.よって任意の自然数nでσx(n)≥nx+(σ0(n)−2)nx2+1が成立する.
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