約数関数を下から評価する

aをnによって定まる定数とすると,約数関数は
$${\sigma }_x(n)=n^x+a+1(n\ge 2)$$
と表すことができ,定数aは
$$a=\sum _{i=1}^{{\sigma }_0(n)-2}{a}_i^x({\sigma }_0(n)-2\ge 0)$$

と表せる.ここで$a_i$は互いに異なる1または$n$ではない$n$の正の約数である.
${\sigma }_0(n)-2\ge 1$のとき,相加相乗平均の関係式より
$$a=\sum _{i=1}^{{\sigma }_0(n)-2}{a}_i^x\ge ({\sigma }_0(n)-2)\prod _{i=1}^{{\sigma }_0(n)-2}{a}_i^{\frac{x}{{\sigma }_0(n)-2}}=({\sigma }_0(n)-2)n^{\frac{x({\sigma }_0(n)-2)}{2({\sigma }_0(n)-2)}}=({\sigma }_0(n)-2)n^{\frac{x}{2}}$$
よって
$${\sigma }_x(n)\ge n^x+({\sigma }_0(n)-2)n^{\frac{x}{2}}+1({\sigma }_0(n)-2\ge 1)$$
${\sigma }_0(n)-2=0$すなわち$n$が素数のとき, ${\sigma }_x(n)\ge n^x+1$となり成り立つ.
また$n=1$のとき偶然にも$a=-1$となり成り立つ.
よって任意の自然数$n$で
$${\sigma }_x(n)\ge n^x+({\sigma }_0(n)-2)n^{\frac{x}{2}}+1$$
が成立する.