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約数関数を下から評価する

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約数関数の下からの評価について
σx(n)nx+(σ0(n)2)nx2+1
となることを示す.

相加相乗平均の関係式で導出

aをnによって定まる定数とすると,約数関数は
σx(n)=nx+a+1(n2)
と表すことができ,定数aは
a=i=1σ0(n)2aix(σ0(n)20)

と表せる.ここでaiは互いに異なる1またはnではないnの正の約数である.
σ0(n)21のとき,相加相乗平均の関係式より
a=i=1σ0(n)2aix(σ0(n)2)i=1σ0(n)2aixσ0(n)2=(σ0(n)2)nx(σ0(n)2)2(σ0(n)2)=(σ0(n)2)nx2
よって
σx(n)nx+(σ0(n)2)nx2+1(σ0(n)21)
σ0(n)2=0すなわちnが素数のとき, σx(n)nx+1となり成り立つ.
またn=1のとき偶然にもa=1となり成り立つ.
よって任意の自然数n
σx(n)nx+(σ0(n)2)nx2+1
が成立する.

投稿日:2022123
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約数関数、数列関係の記事を中心に書いていきます。 記事の内容に間違いがあれば教えてくれるとありがたいです。

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