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競技数学解説
文献あり

有向角の使い方

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 「数学オリンピック幾何への挑戦:ユークリッド幾何学をめぐる船旅」に有向角の解説が載っています. 参照してください.

はじめに

 この記事では、数学オリンピックでよく使われる有向角という表記方法を紹介します。有向角は問題を解く際のテクニックではなく、答案を簡潔に書く方法です。有向角は答案を綺麗に書くのに非常に便利な記法ですが、インターネット上に出回っている情報が少ないと思い、この記事を作成しました。初心者にもわかりやすい丁寧な説明を心掛けましたが、もしも不鮮明な箇所・誤植等ございましたら遠慮なくコメントにてご指摘ください。

用語について

この記事にかかわらず、今後私の全ての記事において、「共点」で3本以上の図形が1点で交わること、「共線」で3点以上が同一直線上にあること、「共円」で4点以上が同一円周上にあることを指します。

有向角導入の前に

証明の欠陥を探せ

 早速ですが、以下のミケルの三角形定理の証明には重大な欠陥が含まれています。それはどこでしょうか。

ミケル (Miquel) の三角形定理:
三角形ABCがある. 直線BC,CA,AB上にそれぞれ点D,E,Fをとるとき, 円AEF,BDE,CDFは1点Pで交わる. このPミケル点 (Miquel Point)という.

AEF,BDEの交点をPとする. 4点CPDFの共円を示せばよい.
APEFについて, CDP=BEP
BPDEについて, BEP=PFA
よって, CDP=PFA
従って, 4点CPDFは共円であるから主張は従う.

ミケルの定理 ミケルの定理

幾何でよくある間違い

 まずは条件不足などの理由で偽である命題を2つみていきましょう。

偽命題:
平面上にどの3点も共線でない4点A,B,P,Qがある. このとき, APB=AQBならば4点ABPQは共円である.

 よく学校で円周角の定理を習うときに注意されることですが、命題2ではP,QABについて同じ側にあるときという条件が抜け落ちています。図2のような状況ではこの命題は成り立ちますが、図3の様にP,QABに対して反対側にあると成り立たなくなってしまいます。
答案中に円周角の定理の逆を用いる際には位置関係に注意するようにしましょう。

同じ側 同じ側

異なる側 異なる側

偽命題:
平面上にどの3点も共線でない4点A,B,O,Pについて, AOP+POB=AOPが成立する.

 これは「角度の足し算」といえます。Pという中継地点を経由して角度を測るときそのまま足すことはできません。この場合はA,BOPについて異なる側にあるという条件が抜けています。図4のような状況ではこの命題は成り立ちますが、図5の様にPAOBの「外」にあるときは明らかに右辺の方が大きくなります。

Pが角の「内部」 Pが角の「内部」

Pが角の「外部」 Pが角の「外部」

図の位置関係に依らない議論をするということ

 2つの偽命題に共通しているのは、図の位置関係による場合分けが不足しているという点です。数学オリンピックの幾何では、図の位置関係に依らない議論をすることがとても重要であり、本選以降の記述式問題においてはコーナーケース(ある点とある点が一致して証明が破綻してしまう場合)は分離して記述しないと減点されることがあります。
 しかし、円周角の定理が出てくるたびに位置関係を確認するのは少し面倒です。そこで有向角を導入すると、これらの問題を解決することができるのです。

有向角の定義

 有向角の特徴は、符号付き角度、つまり負の角度を導入するという点です。座標やベクトルといった解析幾何が誕生する以前のユークリッド幾何学では、負の角度の概念はまだ存在しませんでした。しかし、解析幾何のような抽象的な手法が用いられるようになると、厳密性を求め、負の角度の概念を考えるようになりました。

有向角 (directed angle)(2直線)

平面上に2直線l,mがある. lを反時計回りにθ回転させるとmに重なるとき, θ=(l,m)とする.

定義1

逆向きに測ると正負が反転 : (l,m)=(m,l)

 有向角は、反時計回りに測る際は正の値、時計回りに測るときは負の値になります。
 有向角の記号のTEXコマンドは\measuredangleです。

図6において(l,m)=50,(m,l)=130である.

例1 例1

mod180で同一視

有向角において, 180を法として合同な角度は同一視する. 例えば, 例1において(l,m)=50=230=410=130=310=である.
なお, 便宜上mod180におけるを省略し, 単に=とかく.

 負の角度の定義はできましたが、2直線l,mに対しての定義では普段我々が使っている通常の角度ABCと表記の形式が異なるため、3点A,O,Bに対して有向角を定義します。

有向角(3点)

平面上の3点A,O,Bに対し, AOB=(AO,BO)と定める.

定義2

逆向きに測ると正負が反転 : AOB=BOA

図7においてAOB=50,BOA=130である.

例2 例2
 (l,m)の記法は交点に名前の付いていない2直線がなす角を測るときによく使われます。どちらの表記方法にも慣れておきましょう。

有向角の性質

有向角の加法

 幾何でよくある間違いの所で紹介した角度の足し算ですが、有向角を用いると通常の角度では偽であった命題を問題なく使えるようになります。

有向角の加法

3直線l,m,nについて, (l,m)+(m,n)=(l,n)
4点A,O,B,Pに対し, AOP+POB=AOB

明らか. わからない場合は図を見て理解せよ.

定理4 定理4

共線条件

 有向角を用いると、共線を簡単に判定することができます。

共線条件

4点A,B,C,Xに対し, 3点A,B,Cが共線である必要十分条件はABX=CBXである.

A,B,Cが共線
ABC=0
ABX=ABC+CBX=CBX(命題1より)
よりよい.

定理5 定理5

共円条件

 通常の角度では共円条件は2つに場合分けをする必要がありました。有向角を用いると、この2つの場合分けを1つにまとめることができます。その前に通常の角度における共円条件を確認しておきましょう。

共円条件(通常の角度)

平面上のどの3点も共線でない4点A,B,P,Qに対し, 次が成り立つ.
P,QABについて同じ側にあるとき:
4点ABPQが共円 APB=AQB
P,QABについて異なる側にあるとき:
4点ABPQが共円 APB+AQB=180

定理6 定理6

共円条件(有向角)

平面上にどの3点も共線でない4点A,B,P,Qに対し,次が成り立つ.
4点ABPQが共円 APB=AQB

通常の角度と有向角を等号で結ぶ際のみ区別のためを用いる.
P,QABについて同じ側にあるとき:
明らか.
P,QABについて異なる側にあるとき:
()を示す.
APB>0として一般性を失わない
APBAPB  APB>0より=180AQB  3BQA=AQB  定義1系より
逆は容易であるため読者への課題とする.

定理7 定理7

三角形の内角の和

 通常の角度において三角形の内角の和が180になったことと似たことが有向角においても成り立ち、さらにそれは3直線に一般化されます。

三角形の内角の和

3直線l,m,nに対し, (l,m)+(m,n)+(n,l)=0
特に, 3点A,B,Cに対し, ABC+BCA+CAB=0

明らか.

定理8 定理8

二等辺三角形

二等辺三角形(有向角)

3点A,B,Cに対し, AB=ACACB=CBA

中心角の定理

 共円条件だけでなく中心角の定理(円周角の定理)も有向角を用いて記述できます。通常の角度の場合と変わりません。

中心角の定理(有向角)

ABCの中心Oに対し, AOB=2ACB

平行線

平行線(有向角)

ABCDならば, ABC+BCD=0

定理11 定理11

接弦定理

接弦定理(有向角)

ABCと点Pがあり, APPで円ABCに接している. このとき, PAB=ACBである.

通常の接弦定理と同様なので略.

有向角ならではの注意

 通常の角度では許されているが有向角に対しては許されていない操作があります。

両辺を割る操作

有向角において, 2ABC=2XYZであってもABC=XYZとは限らない. 例えば, ABC=30,XYZ=120などが反例である.

 これは合同式の両辺を割る操作が許されていないことと同様です。有向角における等号はmod180での等号であることは念頭に入れておきましょう。

有向角の使用例

 有向角の基本性質を一通り紹介したので、次は有向角を実際に使ってみましょう。

ミケルの三角形定理

 この記事の最初にあったミケルの三角形定理の証明を有向角を用いて正しく書きなおします。

ミケルの三角形定理

三角形ABCがある. 直線BC,CA,AB上にそれぞれ点D,E,Fをとるとき, 円AEF,BDE,CDFは1点Pで交わる. このPミケル点という.

AEF,BDEの交点をPとする. 4点CPDFの共円を示せばよい.
APEFについて, CDP=BEP (定理4より)
BPDEについて, BEP=PFA (定理4より)
よって, CDP=PFA
従って, 定理7より4点CPDFは共円であるから主張は従う.

 この証明は以下の3つの図のうちどの場合でも成立します。時計回りか、反時計回りかに意識して角度を追ってみてください。
 また、参考程度にD,E,FA,B,Cに近づけるとミケル点Pはブロカール点に収束します。

定理13(その1) 定理13(その1)

定理13(その2) 定理13(その2)

定理13(その3) 定理13(その3)

シムソンの定理

 次に有向角を用いてシムソンの定理を証明します。

シムソン (Simson)の定理

三角形ABCとその外接円上に点Dがある. Dから直線AB,BC,CAに下した垂線の足をそれぞれP,Q,Rとするとき, 3点P,Q,Rは同一直線上にある. この3点を通る直線をシムソン線 (Simson Line)という.

PQR=0を示せばよい.
BPD=PQD=90,CQD=CRD=90より,
4点BDPQ,CDQRはそれぞれ共円. 
PQR=PQD+DQR =PBD+DCR =ABD+DCA =ABDACD=0 
従って, 主張は従う.

定理14 定理14

 図17ではP,QBDに対して異なる側にある場合のみが示されていますが、P,QBDに対して同じ側にあるような図でも証明が破綻しないことを確認してみてください。
 シムソンの定理は逆も成り立ちます。逆も有向角を用いて証明が記述できますので興味のある方は書いてみてください。また、シムソンの定理にはいくつもの興味深い拡張が存在しますが、それを紹介するのはこの記事の目的でないので割愛させていただきます。

向きの付いた相似(2021.2.11追記)

 ここまで、有向角によって円周りの定理の記述が簡潔になることを見てきました。しかし、有向角を用いて合同や相似を記述しようとすると不自然になることがあります。より具体的には、頂点の対応関係が崩れてしまいます。そこで、合同と相似にも向きを付けて考えることによって、共円条件だけでなく合同や相似も有向角で扱える枠組みを整えます。

正の向きの相似、直接相似

平面上にABCDEFなる2つの三角形ABC,DEFがある. これらが以下を満たすとき, 三角形ABCDEF正の向きに相似, または直接相似(directly similar)であると定める:
ABC=DEF,BCA=EFD,CAB=FDE

 正の向きに相似とは、一方を正の倍率の相似拡大と平行移動の合成で他方に重ねることができる関係を指します。特に、正の向きに合同であることを一方を平行移動と回転移動の合成で他方に重ねることができる関係として定義します。

定義3 定義3

負の向きの相似、逆相似

平面上にABCDEFなる2つの三角形ABC,DEFがある. これらが以下を満たすとき, 三角形ABCDEF負の向きに相似, または逆相似(oppositely similar)であると定める:
ABC=DEF,BCA=EFD,CAB=FDE

 負の向きに相似とは、一方を負の倍率の相似拡大と平行移動の合成で他方に重ねることができる関係を指します。言い換えれば、「ひっくり返した相似」です。特に、負の向きに合同であることを一方を対称移動と平行移動、回転移動の合成で他方に重ねることができる関係とした定義します。

定義4 定義4

平行四辺形ABCDとその対角線の交点Xについて, 三角形ABX,CDXは正の向きに合同である.

例3 例3

AB=ACなる二等辺三角形ABCと辺BCの中点Mについて, 三角形ABM,ACMは負の向きに合同である.

例4 例4

三角形ABCと辺AB,ACの中点M,Nについて, 三角形AMN,ABCは正の向きに相似である.

例5 例5

円に内接する四角形ABCDとその対角線の交点Xについて, 三角形ABX,DCXは負の向きに相似である.

例6 例6

おわりに

 最後まで読んでくださりありがとうございました。この記事が共に数学オリンピックを目指す方々のお役に立てれば幸いです。これからも初等幾何の解説記事を書いていこうと思います。

参考文献

[1]
安藤哲哉, 三角形と円の幾何学, 海鳴社, pp. 2-5
[2]
著:Alexander Ostermann, Gerhand Wanner 訳:蟹江幸博, 幾何教程(上), 丸善出版, pp. 148-150
[3]
Evan Chen, Euclidean Geometry in Mathematical Olympiad, pp. 11-15
投稿日:2022124
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Synthetic geometry

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  1. はじめに
  2. 有向角導入の前に
  3. 有向角の定義
  4. 有向角の性質
  5. 有向角の使用例
  6. 向きの付いた相似(2021.2.11追記)
  7. おわりに
  8. 参考文献