文献あり

2019年京都大学理学部特色入試数学第2問の恒等式の背景について

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注意:本記事は2019年京都大学理学部特色入試第2問の解説記事ではありません. (が, ある程度の示唆を与えるとは思います. )

京都大学理学部特色入試の過去問を解いていて2019年の第2問の背景(特に恒等式の背景)がとても気になったので, 調べてみたところ少しだけ面白いことが分かったので紹介します.

2019年京都大学理学部特色入試第2問

以下の設問に答えよ. ただし, $0! = 1$ とする.
(1) $n$ を自然数とする. $F (x)$ は実数を係数とする $x$ の $n$ 次以下の多項式であって, $m$ が整数のとき $F (m)$ がつねに整数となるものとする. このとき, 次の性質(あ), (い)を満たす実数 $c_{0}, c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ が存在することを示せ.
(あ)次の式が $x$ についての恒等式となる.
$\begin{aligned} \frac{F (x)}{(x + 1) (x + 2) \dots (x + n)} \\ = & c_{0} \\ + \frac{c_{1}}{x + 1} \\ + \frac{c_{2}}{(x + 1) (x + 2)} \\ + \dots \\ + \frac{c_{n}}{(x + 1) (x + 2) \dots (x + n)} \end{aligned}$
(い) $0 \leq k \leq n$ を満たすすべての整数 $k$ について $(n - k)! c_{k}$ は整数である.
(2) 0以上の整数 $k$ に対して, $x$ の $k$ 次多項式 $P_{k} (x)$ を次のように定める.
$\begin{aligned} P_{0} (x) & = 1 \\ P_{1} (x) & = x + 1 \\ P_{2} (x) & = (x + 1) (x + 3) \\ ⋮ \\ P_{k} (x) & = (x + 1) (x + 3) \dots (x + 2 k - 3) (x + 2 k - 1) \\ ⋮ \end{aligned}$
また, $a, b$ を $a \leq b$ を満たす0以上の整数とする. このとき, $x$ についての次の恒等式が成り立つことを示せ.
$\begin{array}{r} \frac{P_{a + b} (x)}{a! b! P_{a} (x) P_{b} (x)} = \sum_{q = 0}^{a} \frac{2^{q}}{q! (a - q)! (b - q)! P_{q} (x)} \end{array}$

以上が実際の2019年京都大学理学部特色入試第2問です.
さてこの問題の背景についてですが、上記の問題の(2)の恒等式は次に示すVandermondeの恒等式の特殊な場合です.

Vandermondeの恒等式

$c, d$ を実数, $m$ を自然数として
$\begin{array}{r} _{2} F_{1} [\begin{array}{c} c, - m \\ d \end{array}; 1] = \frac{(d - c)_{m}}{(d)_{m}} \end{array}$
ここで
$(d)_{n} = d \cdot (d + 1) \cdot (d + 2) \cdot \dots \cdot (d + n - 1)$
であり, これは一般にPochhammer記号と呼ばれる. また,
$\begin{array}{r} _{2} F_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; z] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a)_{n} (b)_{n}}{n! (c)_{n}} z^{n} \end{array}$
であり, これは一般にGaussの超幾何級数と呼ばれる.

どうやらVandermondeの恒等式と呼ばれるものは複数存在するようですが, ここでのVandermondeの恒等式は上記の恒等式を指すものとします.
本記事では特色入試の恒等式の背景を説明するのが目的なので, Vandermondeの恒等式の証明は省略します. 気になる方は参考文献をご覧ください.

改めて本記事で示すのは以下の命題となります.

$\begin{aligned} P_{0} (x) & = 1 \\ P_{1} (x) & = x + 1 \\ P_{2} (x) & = (x + 1) (x + 3) \\ ⋮ \\ P_{k} (x) & = (x + 1) (x + 3) \dots (x + 2 k - 3) (x + 2 k - 1) \\ ⋮ \end{aligned}$
の下で, $x$ についての恒等式
$\frac{P_{a + b} (x)}{a! b! P_{a} (x) P_{b} (x)} = \sum_{q = 0}^{a} \frac{2^{q}}{q! (a - q)! (b - q)! P_{q} (x)}$
はVandermondeの恒等式
$_{2} F_{1} [\begin{matrix} c, - m \\ d \end{matrix}; 1] = \frac{(d - c)_{m}}{(d)_{m}}$
で $0 \leq a \leq b$ を整数として $m = a, c = - b, d = \frac{x + 1}{2}$
とした場合の式である.

この命題の証明の見通しを良くするためにPochhammer記号についてのいくつかの補題を先に示しておきます.

$\begin{array}{r} (- a)_{q} = {\begin{cases} \frac{(- 1)^{q} a!}{(a - q)!} (q \leq a) \\ 0 (q > a) \end{cases} \end{array}$

補題3

$\begin{aligned} (- a)_{q} & = (- a) (- a + 1) \dots (- a + q - 1) \\ = (- 1)^{q} a (a - 1) \dots (a - q + 1) \end{aligned}$
ここで $q > a$ なら右辺のどれかのカッコが0になるので左辺も0.
以下 $q \leq a$ として
$\begin{aligned} (- a)_{q} & = \frac{(- 1)^{q} a (a - 1) \dots (a - q + 1) (a - q)!}{(a - q)!} \\ = \frac{(- 1)^{q} a!}{(a - q)!} \end{aligned}$
ちなみに, 後に式変形で使われるときの形は $\frac{(- a)_{q}}{(- 1)^{q}} = \frac{a!}{(a - q)!}$ である.

$\begin{array}{r} (d + b)_{a} = \frac{(d)_{a + b}}{(d)_{b}} \end{array}$

補題4

$\begin{aligned} (d)_{a + b} & = d (d + 1) \dots (d + b - 1) (d + b) \dots (d + b + a - 1) \\ = (d)_{b} (d + b)_{a} \end{aligned}$

この下で命題2を示します.

(命題2)

Vandermondeの恒等式
$\begin{aligned} \frac{(d - c)_{m}}{(d)_{m}} & =_{2} F_{1} [\begin{array}{c} c, - m \\ d \end{array}; 1] \\ = \sum_{q = 0}^{\infty} \frac{(c)_{q} (- m)_{q}}{q! (d)_{q}} \end{aligned}$
について, 補題3の後半の主張から $q > m$ で $(- m)_{q} = 0$ より
$\frac{(c)_{q} (- m)_{q}}{q! (d)_{q}} = 0 (q > m)$
よって $\sum$ の範囲を $\infty \to m$ としても恒等式は成り立つ. すなわち
$\begin{array}{r} \frac{(d - c)_{m}}{(d)_{m}} = \sum_{q = 0}^{m} \frac{(c)_{q} (- m)_{q}}{q! (d)_{q}} \end{array}$
$0 \leq a \leq b$ を整数として $m = a, c = - b$ とすると
$\begin{aligned} \frac{(d + b)_{a}}{(d)_{a}} & = \sum_{q = 0}^{a} \frac{(- a)_{q} (- b)_{q}}{q! (d)_{q}} \\ = \sum_{q = 0}^{a} \frac{(- a)_{q} (- b)_{q}}{q! (- 1)^{q} (- 1)^{q} (d)_{q}} \end{aligned}$
左辺に補題4, 右辺に補題3を用いる(右辺で $(- 1)^{q}$ を2つ出したのはそのためである)と
$\begin{aligned} \frac{(d + b)_{a}}{(d)_{a}} = \sum_{q = 0}^{a} \frac{(- a)_{q} (- b)_{q}}{q! (- 1)^{q} (- 1)^{q} (d)_{q}} \\ \frac{(d)_{a + b}}{(d)_{a} (d)_{b}} = \sum_{q = 0}^{a} \frac{a! b!}{q! (a - q)! (b - q)! (d)_{q}} \\ \frac{(d)_{a + b}}{a! b! (d)_{a} (d)_{b}} = \sum_{q = 0}^{a} \frac{1}{q! (a - q)! (b - q)! (d)_{q}} \end{aligned}$
ここで $P_{k} (x)$ についてみておく. $x = 2 d - 1$ とすると
$\begin{aligned} P_{k} (x) & = 2 d (2 d + 2) \dots (2 d + 2 k - 4) (2 d + 2 k - 2) \\ = 2^{k} d (d + 1) \dots (d + k - 2) (d + k - 1) \\ = 2^{k} (d)_{k} \end{aligned}$
なので $d = \frac{x + 1}{2}$ で $(d)_{k} = 2^{- k} P_{k} (x)$ である. これを代入し
$\begin{aligned} \frac{2^{- a - b} P_{a + b} (x)}{a! b! 2^{- a} P_{a} (x) 2^{- b} P_{b} (x)} = \sum_{q = 0}^{a} \frac{1}{q! (a - q)! (b - q)! 2^{- q} P_{q} (x)} \\ \frac{P_{a + b} (x)}{a! b! P_{a} (x) P_{b} (x)} = \sum_{q = 0}^{a} \frac{2^{q}}{q! (a - q)! (b - q)! P_{q} (x)} \end{aligned}$
$d = \frac{x + 1}{2}$ は $d$ が実数全体をわたるとき $x$ も実数全体をわたるので, これは示すべきであった恒等式である.