模範解答

$n( \geq 2)$回サイコロを振った時、出目の最小公倍数が$20$となる確率を求めよ。
$n$回サイコロを振って最小公倍数が20になる確率は

$(i)A=4$が少なくとも1つ出る事象
$(ii)B=5$が少なくとも1つ出る事象
$(iii)C=3$も6も1つたりとも出ない事象(=1,2,4,5のみが出る事象)
として$P(A∩B∩C)$を求めれば良い。

$P(A∩B∩C)=P(A∩B)+P(B∩C)+P(C∩A)-\{P(A)+P(B)+P(C)-P(A∪B∪C)\}$を用いてこの確率を求める。

$\displaystyle (1)P(A)=1-\bigl(\frac{5}{6}\bigr)^n$
$\displaystyle (2)P(B)=1-\bigl(\frac{5}{6}\bigr)^n$
$\displaystyle (3)P(C)=\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^n$

(4)$P(A∩B)$について
$P(A∩B)=1-P(\bar{A}∪\bar{B})=1-\{P(\bar{A})+P(\bar{B})-P(\bar{A}∩\bar{B})\} =1-2(5/6)^n-(2/3)^n)=1-2(5/6)^n+(2/3)^n$

(5)$\displaystyle P(B∩C)=\frac{4^n-3^n}{6^n}$

(6)$\displaystyle P(C∩A)=\frac{4^n-3^n}{6^n}$

(7)$\displaystyle P(A∪B∪C)$について
$P(\bar{A}∩\bar{B}) = P(\bar{A}∩\bar{B}∩C) + P(\bar{A}∩\bar{B}∩\bar{C}) $と、事象「$\bar{A}∩\bar{B}$」とは1,2,3,6のみが出ると言うこと、事象「$\bar{A}∩\bar{B}∩C$」とは$1,2$のいずれかが出続けると言うことを踏まえて、
$P(A∪B∪C)=1-P(\bar{A}∩\bar{B}∩\bar{C})=1-(P(\bar{A}∩\bar{B})-P(\bar{A}∩\bar{B}∩C))= 1-(4^n-2^n)/6^n$

よって、(1)~(7)より、$\displaystyle P(A∩B∩C)=1-2\bigl(\frac{5}{6}\bigr)^n+\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^n+2\bigl(\frac{4^n-3^n}{6^n}\bigr)-\bigr(2-2\bigl(\frac{5}{6}\bigr)^n+\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^n-1+\frac{4^n-2^n}{6^n}\bigr) \\\displaystyle =1-2\bigl(\frac{5}{6}\bigr)^n+\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^n+2\bigl(\frac{4^n-3^n}{6^n}\bigr)-2+2\bigl(\frac{5}{6}\bigr)^n-\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^n+1-\frac{4^n-2^n}{6^n} \\ =\displaystyle \frac{4^n+2^n-2×3^n}{6^n} \ \ \ \square$

今、$\bar{A}∩\bar{B}$とは4,5どちらも1つも出ないと言うことである。
つまり$\bar{A}∩\bar{B}$とは1,2,3,6のみが出ると言うことである。
また、$\bar{C}$とは3または6が少なくとも1つ出ると言うこと。
よって「$\bar{A}∩\bar{B}∩C$」とは$1,2$のいずれかが出続けると言うことなので場合の数は$2^n$
よって$\bar{A}∩\bar{B}∩\bar{C}$の場合の数$n()$は$n(\bar{A}∩\bar{B}∩\bar{C})=n(\bar{A}∩\bar{B})-(\bar{A}∩\bar{B}∩C)=$$4^n-2^n$
よって、$P(\bar{A}∩\bar{B}∩\bar{C}) = (4^n-2^n)/6^n $

三角形ABCについて、
$\cdot AB$の長さを4
$\cdot AC$の長さを8
$\cdot \angle BAC=120^{\circ}$
線分$BC$を$3:4$に内分した点をDとし、ADの延長線と$\triangle ABC$の外接円$C$との交点を$E$とする。線分$BE$の長さを求めよ。
$A$を原点とする座標平面を張る。また、$B$を$x$軸状に取る。すると、
$B$の座標は$(4,0)$
$C$の座標は$(-4,4\sqrt 3)$
$D$の座標は$(\displaystyle \frac{4}{7},\frac{12\sqrt 3}{7})$
$AD$の方程式は$y=3\sqrt3 x$
外接円半径を$r$とすると正弦定理より、$\frac{2 (4 \sqrt(3)}{2\cdot \sqrt 3}$ = 4
$O$の座標$(a,b)$は$a^2+b^2 = 16,(a-4)^2+b^2=16$を満たす。$a=2,b=2\sqrt 3$