模範解答

$n(\ge 2)$回サイコロを振った時、出目の最小公倍数が$20$となる確率を求めよ。
$n$回サイコロを振って最小公倍数が20になる確率は

$(i)A=4$が少なくとも1つ出る事象
$(ii)B=5$が少なくとも1つ出る事象
$(iii)C=3$も6も1つたりとも出ない事象(=1,2,4,5のみが出る事象)
として$P(A\cap B\cap C)$を求めれば良い。

$P(A\cap B\cap C)=P(A\cap B)+P(B\cap C)+P(C\cap A)-\{P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cup B\cup C)\}$を用いてこの確率を求める。

${\displaystyle (1)P(A)=1-(\frac{5}{6}{)}^n}$
${\displaystyle (2)P(B)=1-(\frac{5}{6}{)}^n}$
${\displaystyle (3)P(C)=(\frac{2}{3}{)}^n}$

(4)$P(A\cap B)$について
$P(A\cap B)=1-P(\overline{A}\cup \overline{B})=1-\{P(\overline{A})+P(\overline{B})-P(\overline{A}\cap \overline{B})\}=1-2(5/6{)}^n-(2/3{)}^n)=1-2(5/6{)}^n+(2/3{)}^n$

(5)${\displaystyle P(B\cap C)=\frac{4^n-3^n}{6^n}}$

(6)${\displaystyle P(C\cap A)=\frac{4^n-3^n}{6^n}}$

(7)${\displaystyle P(A\cup B\cup C)}$について
$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A}\cap \overline{B}\cap C)+P(\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C})$と、事象「$\overline{A}\cap \overline{B}$」とは1,2,3,6のみが出ると言うこと、事象「$\overline{A}\cap \overline{B}\cap C$」とは$1,2$のいずれかが出続けると言うことを踏まえて、
$P(A\cup B\cup C)=1-P(\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C})=1-(P(\overline{A}\cap \overline{B})-P(\overline{A}\cap \overline{B}\cap C))=1-(4^n-2^n)/6^n$

よって、(1)~(7)より、$$\begin{gathered} {\displaystyle P(A\cap B\cap C)=1-2(\frac{5}{6}{)}^n+(\frac{2}{3}{)}^n+2(\frac{4^n-3^n}{6^n})-(2-2(\frac{5}{6}{)}^n+(\frac{2}{3}{)}^n-1+\frac{4^n-2^n}{6^n})} \\ {\displaystyle =1-2(\frac{5}{6}{)}^n+(\frac{2}{3}{)}^n+2(\frac{4^n-3^n}{6^n})-2+2(\frac{5}{6}{)}^n-(\frac{2}{3}{)}^n+1-\frac{4^n-2^n}{6^n}} \\ ={\displaystyle \frac{4^n+2^n-2\times 3^n}{6^n}◻} \end{gathered}$$

今、$\overline{A}\cap \overline{B}$とは4,5どちらも1つも出ないと言うことである。
つまり$\overline{A}\cap \overline{B}$とは1,2,3,6のみが出ると言うことである。
また、$\overline{C}$とは3または6が少なくとも1つ出ると言うこと。
よって「$\overline{A}\cap \overline{B}\cap C$」とは$1,2$のいずれかが出続けると言うことなので場合の数は$2^n$
よって$\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C}$の場合の数$n()$は$n(\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C})=n(\overline{A}\cap \overline{B})-(\overline{A}\cap \overline{B}\cap C)=$$4^n-2^n$
よって、$P(\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C})=(4^n-2^n)/6^n$

三角形ABCについて、
$\cdot AB$の長さを4
$\cdot AC$の長さを8
$\cdot \mathrm{\angle }BAC={120}^{\circ }$
線分$BC$を$3:4$に内分した点をDとし、ADの延長線と$\mathrm{△}ABC$の外接円$C$との交点を$E$とする。線分$BE$の長さを求めよ。
$A$を原点とする座標平面を張る。また、$B$を$x$軸状に取る。すると、
$B$の座標は$(4,0)$
$C$の座標は$(-4,4\sqrt{3})$
$D$の座標は$({\displaystyle \frac{4}{7},\frac{12\sqrt{3}}{7})}$
$AD$の方程式は$y=3\sqrt{3}x$
外接円半径を$r$とすると正弦定理より、$\frac{2(4\sqrt{(}3)}{2\cdot \sqrt{3}}$ = 4
$O$の座標$(a,b)$は$a^2+b^2=16,(a-4{)}^2+b^2=16$を満たす。$a=2,b=2\sqrt{3}$