連続する自然数の積の和について

$\text{(???)}$の両辺を$m$倍した式
$$\begin{array}{}\text{(2)}& m\sum _{k=1}^{n}k(k+1)\times \cdots \times (k+m-2)=n(n+1)\times \cdots \times (n+m-1)\end{array}$$
を示す．
$$\begin{gathered} (右辺) \\ =\sum _{k=1}^{n}mk(k+1)\times \cdots \times (k+m-2) \\ =\sum _{k=1}^n\{m+(k-1)-(k-1)\}k(k+1)\times \cdots \times (k+m-2) \\ =\sum _{k=1}^n\{(k+m-1)-(k-1)\}k(k+1)\times \cdots \times (k+m-2) \\ =\sum _{k=1}^{n}k(k+1)\times \cdots \times (k+m-2)(k+m-1)-(k-1)k(k+1)\times \cdots \times (k+m-2) \\ =[(1\times 2\times \times \cdots \times m)-\{0\times 1\times \cdots \times (m-1)\}]+ \\ +[\{2\times 3\times \times \cdots \times (m+1)\}-(1\times 2\times \cdots \times m)]+\cdots \\ +\{n(n+1)\times \cdots \times (n+m-1)\}-\{(n-1)n\times \cdots \times (n+m-2)\} \\ =n(n+1)\times \cdots \times (n+m-1) \\ =(左辺) \end{gathered}$$
よって，$\text{(???)}$が成り立つ．
したがって，予想が成り立つことが証明された．