連続する自然数の積の和について
連続する自然数の積の和について
※この記事は記事投稿の練習も兼ねています．
先日計算をΣの計算を見ていたとき，こんな数式に出会いました．
$$\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$$
そしてこれを見たとき，ふと次の式が頭に思い浮かびます．
$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$$
なんだか似てますね。これってもしかして一般化できるのでは？ってことで考えてみると，こんな式が成り立ちそう．
$2$以上の任意の自然数$m$に対して，
$$\sum_{k=1}^{n}k(k+1)\times\cdots\times(k+m-2)=\frac{1}{m}n(n+1)\times\cdots\times(n+m-1)\tag{1}$$
これを証明してみようと思います．
\eqref{1}の両辺を$m$倍した式
$$m\sum_{k=1}^{n}k(k+1)\times\cdots\times(k+m-2)=n(n+1)\times\cdots\times(n+m-1) \tag{2}$$
を示す．
$$\quad (右辺)\\
=\sum_{k=1}^{n}mk(k+1)\times\cdots\times(k+m-2)\\
=\sum_{k=1}^{n}\{m+(k-1)-(k-1)\}k(k+1)\times \cdots\times(k+m-2)\\
=\sum_{k=1}^{n}\{(k+m-1)-(k-1)\}k(k+1)\times \cdots\times(k+m-2)\\
=\sum_{k=1}^{n}k(k+1)\times \cdots\times(k+m-2)(k+m-1)-(k-1)k(k+1)
\times\cdots\times(k+m-2)\\
=[(1\times2\times \times\cdots\times m)-\{0\times1\times\cdots\times(m-1)\}]+\\
\qquad +[\{2\times3\times \times\cdots\times (m+1)\}-(1\times2\times\cdots\times m)]+\cdots\\
\qquad +\{n(n+1)\times\cdots\times(n+m-1)\}-\{(n-1)n\times\cdots\times(n+m-2)\}\\
=n(n+1)\times\cdots\times(n+m-1)\\
=(左辺)
$$
よって，\eqref{2}が成り立つ．
したがって，予想が成り立つことが証明された．