無理やり部分積分をする変形

104

Twitterに載せた問題の解説です.

問題
不定積分 $\int \frac{2 \log^{2} x - 3 \log x}{{(\log x - 1)}^{2}} d x$ を求めよ.

解説

\begin{array}{rcl} \int \frac{2 \log^{2} x - 3 \log x}{{(\log x - 1)}^{2}} d x & = & \int \frac{2 x^{2} \log^{2} x - 3 x^{2} \log x}{{(x \log x - x)}^{2}} d x \\ = & \int (2 x^{2} \log x - 3 x^{2}) \frac{\log x}{{(x \log x - x)}^{2}} d x \end{array}

ここで,

\frac{\log x}{{(x \log x - x)}^{2}}

について,

x \log x - x = t

と置換することにより,

\frac{\log x}{{(x \log x - x)}^{2}} = {(- \frac{1}{x \log x - x})}^{^{'}}

を得る.よって,

\begin{array}{rcl} \int (2 x^{2} \log x - 3 x^{2}) \frac{\log x}{{(x \log x - x)}^{2}} d x & = & \int (2 x^{2} \log x - 3 x^{2}) {(\frac{- 1}{x \log x - x})}^{^{'}} d x \\ = & - \frac{2 x^{2} \log x - 3 x^{2}}{x \log x - x} + \int \frac{{(2 x^{2} \log x - 3 x^{2})}^{'}}{x \log x - x} d x \\ = & \int \frac{4 x \log x - 4 x}{x \log x - x} d x - \frac{2 x \log x - 3 x}{\log x - 1} \\ = & 4 x - \frac{2 x \log x - 3 x}{\log x - 1} + C o n s t \\ = & \frac{4 x \log x - 4 x - 2 x \log x + 3 x}{\log x - 1} + C o n s t \\ = & \frac{2 x \log x - 2 x + x}{\log x - 1} + C o n s t \\ = & \frac{x}{\log x - 1} + 2 x + C o n s t . \end{array}

いかがでしたか?(テンプレ)いい感じに部分積分ができる形に変形するのがポイントです.もしかしたらもっとうまいやり方があるかもしれないです.
同じような考え方で,
$\int \frac{x^{2}}{(x \sin x + \cos x)^{2}} d x$
などの積分も解くことができます.(読者への宿題とします.)
最後まで読んでいただきありがとうございました!

投稿日：2022年1月29日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

RusK

1163

さくさく

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

RusK

無理やり部分積分をする変形