無理やり部分積分をする変形

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Twitterに載せた問題の解説です.

問題
不定積分$\displaystyle\int\dfrac{2\log^2x-3\log x}{\left(\log x-1\right)^2}dx$を求めよ.

解説

\begin{eqnarray} \int\dfrac{2\log^2x-3\log x}{\left(\log x-1\right)^2}dx &=& \int\dfrac{2x^2\log^2x-3x^2\log x}{\left(x\log x-x\right)^2}dx \\ &=& \int(2x^2\log x-3x^2)\dfrac{\log x}{\left(x\log x-x\right)^2}dx \end{eqnarray}
ここで,$\dfrac{\log x}{\left(x\log x-x\right)^2}$について,

$x\log x-x=t$と置換することにより,

$\dfrac{\log x}{\left(x\log x-x\right)^2}=\left(-\dfrac{1}{x\log x-x}\right)^{'}$を得る.よって,

\begin{eqnarray} \int(2x^2\log x-3x^2)\dfrac{\log x}{\left(x\log x-x\right)^2}dx &=& \int(2x^2\log x-3x^2)\left(\dfrac{-1}{x\log x-x}\right)^{'}dx\\ &=&-\dfrac{2x^2\log x-3x^2}{x\log x-x}+\int\dfrac{\left(2x^2\log x-3x^2\right)'}{x\log x-x}dx\\ &=&\int\dfrac{4x\log x-4x}{x\log x-x}dx-\dfrac{2x\log x-3x}{\log x-1}\\ &=&4x-\dfrac{2x\log x-3x}{\log x-1}+Const\\ &=&\dfrac{4x\log x-4x-2x\log x+3x}{\log x-1}+Const\\ &=&\dfrac{2x\log x-2x+x}{\log x-1}+Const\\ &=&\dfrac{x}{\log x-1}+2x+Const. \end{eqnarray}

いかがでしたか?(テンプレ)いい感じに部分積分ができる形に変形するのがポイントです.もしかしたらもっとうまいやり方があるかもしれないです.
同じような考え方で,
\begin{equation} \displaystyle\int\dfrac{x^2}{(x\sin x+\cos x)^2}dx \end{equation}
などの積分も解くことができます.(読者への宿題とします.)
最後まで読んでいただきありがとうございました!

投稿日：2022年1月29日

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