幾何的に見る放物線

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この記事では,従来,円と直線を主に扱う初等的(座標や複雑な計算を用いない)な幾何に,対象図形として「放物線」を加えてみたいと思う．
数Ⅰまでの放物線というと通常 $y = a x^{2} + b x + c$ で表される曲線であるが,本稿の趣旨にそって,数Ⅲのより図形的な定義を用いて,以下の議論を進める．
もちろん $y = a x^{2} + b x + c$ を用いても同じ結果が得られる(道具として図形の方程式,微分が使える)．

放物線の定義

放物線,焦点,準線

平面上の点 $F$ および直線 $l$ に対して次の条件を満たす点 $P$ の集合を,放物線と呼び,点 $F$ および直線 $l$ をそれぞれこの放物線の焦点,準線と呼ぶ．

条件： $P, F$ の距離と $P, l$ の距離が等しい

放物線の定義

問題集(有名事実)

以下,点 $F$ ,直線 $l$ はそれぞれの焦点,準線とする．

放物線上に2点 $A, B$ があり, $A B$ と $l$ は平行でないとする．
直線 $A B$ と $l$ の交点を $P$ とすると直線 $F P$ は $∠ A F B$ の外角を二等分することを示せ．

放物線上に点 $A$ があり, $A$ での放物線の接線と $l$ は平行でないとする．
$A$ から $l$ に下ろした垂線の足を $A^{'}$ とする．
このとき $A$ での放物線の接線は $∠ F A A^{'}$ を二等分することを示せ．

点 $T$ から放物線に接線を2本引くことができるとき,接点を $A, B$ とする．次の(1),(2),(3)を示せ．
(1)線分 $A B$ を中点 $M$ とすると, $T M ⊥ l$
(2) $△ F T A$ と $△ F B T$ は相似
(3)点 $T$ が $l$ 上にあるとき, $F$ は線分 $A B$ 上にあり, $∠ A T B = 90^{\circ}$

この3つが主要な定理,補題となる．

自作問題

点 $F$ ,直線 $l$ はそれぞれの焦点,準線とする．

放物線上に点 $A, B, C, D$ があり, $A B / / C D$ を満たす．
直線 $A C, B D$ の交点,直線 $A D, B C$ の交点をそれぞれ $X, Y$ とする。 $X Y ⊥ l$ を示せ．

点 $T$ から放物線に接線を2本引くことができるとき,接点を $A, B$ とする．
$A, B$ から $l$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $A^{'}, B^{'}$ とする．
三角形 $T A B$ の外接円の半径を $R$ としたとき $A B \cdot F T = R \cdot A^{'} B^{'}$ を示せ．