お気に入りの極限

　この記事では, 以下の式の解説をしようと思います.

ただし, $\mathrm{\Omega }=0.5671\dots$は$\mathrm{\Omega }{e}^{\mathrm{\Omega }}=1$を満たす実数です.
$$

　これは実は母関数をとると簡単になります.
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n\sum _{k=0}^n\frac{(n-k{)}^k}{k!}$$
として, $n\mapsto n+k$とすることで, 足す範囲は$0\le n,0\le k$となって,

$$\begin{array}{rcl}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n\sum _{k=0}^n\frac{(n-k{)}^k}{k!}& =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^k}{k!}{z}^{n+k}\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n{e}^{nz}\\ & =& \frac{1}{1-z{e}^z}\end{array}$$

この冪級数の収束半径は$|z|<\mathrm{\Omega }$となります. ここで嬉しいことに右辺は$\mathbb{C}$での有理型関数になっていて, 全て$1$位の極になっています.
$$

　ここで右辺の関数の$z=\mathrm{\Omega }$での留数は
$$\underset{z\to \mathrm{\Omega }}{lim}\frac{z-\mathrm{\Omega }}{1-z{e}^z}=-\frac{1}{(1+\mathrm{\Omega })e^{\mathrm{\Omega }}}=-\frac{\mathrm{\Omega }}{1+\mathrm{\Omega }}$$

なので,

$$\frac{1}{1-z{e}^z}-\frac{1}{1+\mathrm{\Omega }}\frac{1}{1-z/\mathrm{\Omega }}$$

は$z=\mathrm{\Omega }$で正則であり, さらに言えば次に絶対値の小さい極($z{e}^z=1$の複素数解のうち$2$番目に絶対値の小さいもの)を$z={\mathrm{\Omega }}_2$とすれば

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{k=0}^n\frac{(n-k{)}^k}{k!}-\frac{{\mathrm{\Omega }}^{-n}}{1+\mathrm{\Omega }})z^n=\frac{1}{1-z{e}^z}-\frac{1}{1+\mathrm{\Omega }}\frac{1}{1-z/\mathrm{\Omega }}$$

が$|z|<|{\mathrm{\Omega }}_2|$で成り立ちます. ここで${\mathrm{\Omega }}_2=-1.533\dots +i4.375\dots$より$|\mathrm{\Omega }|<|{\mathrm{\Omega }}_2|$に注意すれば,

$$\mathrm{\exists }R<{\mathrm{\Omega }}^{-1},\mathrm{\exists }C,|\sum _{k=0}^n\frac{(n-k{)}^k}{k!}-\frac{{\mathrm{\Omega }}^{-n}}{1+\mathrm{\Omega }}|<C{R}^n$$

　これと${\mathrm{\Omega }}^{-n}=e^{\mathrm{\Omega }n}$より

$$\sum _{k=0}^n\frac{(n-k{)}^k}{k!}\sim \frac{e^{\mathrm{\Omega }n}}{1+\mathrm{\Omega }}$$

が導けました.

　このようにして極を除く操作を続けると, 任意の$R>0$に対して

$$\sum _{k=0}^n\frac{(n-k{)}^k}{k!}\sim \sum _{\begin{array}{c}z{e}^z=1\\ |z|<R\end{array}}\frac{e^{zn}}{1+z}+o(R^{-n})$$

が成り立ちます.

　他にも, 母関数をとる際に$x^k$をつけてあげると

$$\sum _{k=0}^n\frac{(n-k{)}^k}{k!}{x}^k\sim \frac{e^{W_0(x)n}}{1+W_0(x)}$$

となります. ただし$W_0(x)$はランベルトのW関数で, $x{e}^x$の逆関数です.

　この式で$x=e$とすれば, $W_0(e)=1$なので

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n\frac{(n-k{)}^k}{k!e^{n-k}}=\frac{1}{2}$$

という面白い極限も得られます.

　ところでこの式,

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n\frac{n^k}{k!e^n}=\frac{1}{2}$$

という少し有名な(？)式ととても似ていますよね. なにか理由はあるのでしょうか？

　この記事は以上となります. 読んでくださった方, ありがとうございました.