お気に入りの極限

　この記事では, 以下の式の解説をしようと思います.

ただし, $\Omega=0.5671\ldots$は$\Omega e^\Omega=1$を満たす実数です.
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　これは実は母関数をとると簡単になります.
$$\sumn{0}z^n\sumk{0}\frac{(n-k)^k}{k!}$$
として, $n\mapsto n+k$とすることで, 足す範囲は$0\leq n,\ 0\leq k$となって,

$$ \beq \sumn{0}z^n\sumk{0}\frac{(n-k)^k}{k!} &=& \sumn{0}\sum_{k=0}^\infty\frac{n^k}{k!}z^{n+k}\\[5pt] &=&\sumn{0}z^ne^{nz}\\[5pt] &=& \frac1{1-ze^z} \eeq $$

この冪級数の収束半径は$|z|<\Omega$となります. ここで嬉しいことに右辺は$\C$での有理型関数になっていて, 全て$1$位の極になっています.
${}$

　ここで右辺の関数の$z=\Omega$での留数は
$$ \lim_{z\to\Omega}\frac{z-\Omega}{1-ze^z}=-\frac1{(1+\Omega)e^\Omega}=-\frac{\Omega}{1+\Omega}$$

なので,

$$\frac1{1-ze^z}-\frac1{1+\Omega}\frac1{1-z/\Omega} $$

は$z=\Omega$で正則であり, さらに言えば次に絶対値の小さい極($ze^z=1$の複素数解のうち$2$番目に絶対値の小さいもの)を$z=\Omega_2$とすれば

$$ \sumn{0}\left(\sumk{0}\frac{(n-k)^k}{k!}-\frac{\Omega^{-n}}{1+\Omega}\right)z^n=\frac1{1-ze^z}-\frac1{1+\Omega}\frac1{1-z/\Omega}$$

が$|z|<|\Omega_2|$で成り立ちます. ここで$\Omega_2=-1.533\ldots+i4.375\ldots$より$|\Omega|<|\Omega_2|$に注意すれば,

$$ \exists R<\Omega^{-1},\ \exists C,\quad\left|\sumk{0}\frac{(n-k)^k}{k!}-\frac{\Omega^{-n}}{1+\Omega}\right|< CR^n$$

　これと$\Omega^{-n}=e^{\Omega n}$より

$$ \sumk{0}\frac{(n-k)^k}{k!}\sim \frac{e^{\Omega n}}{1+\Omega}$$

が導けました.

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　このようにして極を除く操作を続けると, 任意の$R>0$に対して

$$ \sumk{0}\frac{(n-k)^k}{k!}\sim \sum_{\begin{array}{c} ze^z=1\\[-5pt]|z|< R\end{array}}\frac{e^{zn}}{1+z}+o(R^{-n})$$

が成り立ちます.

${}$

　他にも, 母関数をとる際に$x^k$をつけてあげると

$$ \sumk{0}\frac{(n-k)^k}{k!}x^k\sim \frac{e^{W_0(x)n}}{1+W_0(x)}$$

となります. ただし$W_0(x)$はランベルトのW関数で, $xe^x$の逆関数です.

　この式で$x=e$とすれば, $W_0(e)=1$なので

$$ \limn\sumk{0}\frac{(n-k)^k}{k!e^{n-k}}=\frac12$$

という面白い極限も得られます.

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　ところでこの式,

$$ \limn\sumk{0}\frac{n^k}{k!e^{n}}=\frac12$$

という少し有名な(？)式ととても似ていますよね. なにか理由はあるのでしょうか？

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　この記事は以上となります. 読んでくださった方, ありがとうございました.

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