アデール環とイデール群を知る(後半)

　$\mathcal{O} = \lbrace \bigcup \mathfrak{U} | \mathfrak{U} \subset \mathcal{B}^* \rbrace$が位相の三つの条件を満たしていることを示す.

　$\varnothing \in \mathcal{B}^*$より$\varnothing\in \mathcal{O}$である.また,命題1より$\mathbb{I}_K \in \mathcal{O}$もわかる.

　次に,$\mathcal{B}^*$から任意に二つの集合$U= \displaystyle \prod_{v \in S} U_v \times \prod_{v \notin S} O_v^*$, $W = \displaystyle \prod_{v \in T} W_v \times \prod_{v \notin T} O_v^*$を取る
($S$,$T$は$V_{\infty}$を含む有限集合).
　このとき,

$\begin{aligned} U \cap W &=(\prod_{v \in S} U_v \times \prod_{v \notin S} O_v^*) \cap (\prod_{v \in T} W_v \times \prod_{v \notin T} O_v^*) \\ &= (\prod_{v \in S \cap T}U_v \cap W_v) \times (\prod_{v \in S \setminus T} U_v \cap O_v^*) \times (\prod_{v \in T \setminus S} O_v^* \cap W_v) \times (\prod_{v \notin (S \cup T)} O_v^*) \end{aligned}$

である.$O_v^* \in \mathcal{O}_{K_v}$ゆえ$U_v \cap W_v$,$U_v \cap O_v^*$,$O_v^* \cap W_v \in \mathcal{O}_{K_v^*}$である.$V_{\infty} \subseteq S \cap T$でこれは有限集合なので,$U \cap W \in \mathcal{B}^*$である.

　最後に,$\mathcal{O}$に属する集合の和集合が$\mathcal{O}$に入ることだが,これは$\mathcal{O}$の定め方より明らかである.

　よって,$\mathcal{O}$は位相となり,$\mathcal{B}^*$はこの開基となる.　$\square$

　上述より,$K^*$は$\mathbb{I}_K $の部分群と見做せる.したがって,有限個を除いたほとんど全ての素点$v$に対し,$| \alpha |_v=1$である.$\, $よって$c(\alpha)= \displaystyle \prod_{v} |\alpha|_v$は高々有限個の素点による積となる.
　$v’$は有理数体$\mathbb{Q}$(または一変数関数体$\mathbb{F}(t)$)の素点全体をとるとする.このとき$K$の素点で$v'$の延長となるような素点を$v|v'$と書く.すると,

$\displaystyle \prod_v |\alpha |_v= \prod_{v'}( \prod_{v|v' } |\alpha |_v) = \prod_{v'} | \text{Norm}_{K/ \mathbb{Q}}(\alpha) |_{v'}$

が成り立つ(上の第二式はつまり,$K$の素点を素体における素点でまとめ直すということです.第三式はここでは証明を省略しています.気になる方はCassels&Fröhlichの"Algebraic Number Theory"の59ページを参照してください).
以上の議論から,$K= \mathbb{Q}$または$K=\mathbb{F}(t)$のときを考えれば良い.ここでは前者の場合に証明する.
　$b \in \mathbb{Q}$を

$\displaystyle b = \pm \prod_p p^{\beta_{p}}$

とおく.ただし,$p$は全ての素数をとり,$\beta_p \in \mathbb{Z}$である.このとき,$p$進付値に対しては

$ | b |_p = p^{- \beta_p}$

であり,通常の絶対値に対しては

$\displaystyle | b |_{\infty}= \prod_p p^{\beta_p}$

となる.したがって,

$ \displaystyle | b |_{\infty} \times \prod_p | b |_p= \prod_p p^{\beta_p} \times \prod_p p^{- \beta_p} =1$

となる.　$\square$

　アデール環の任意の開集合$U$に対し,$U \cap \mathbb{I}_K$がイデール群の開集合であることを示す.アデール環の位相の開基は

$\mathcal{B} = \lbrace \displaystyle \prod_{v \in S} U_v \times \prod_{v \notin S}O_v | V_{\infty} \subseteq S,　 \forall v \in S, U_v \subseteq K_v \text{は開}\rbrace$

であったので,$U = \displaystyle \prod_{v \in S} U_v \times \prod_{v \notin S} O_v \in \mathcal{B}$としてとる.このとき,

$\begin{aligned} U \cap \mathbb{I}_K &= U \cap \bigcup_{P_\infty \subseteq T} \mathbb{I}_K (T) \\ &= \bigcup_{P_\infty \subseteq T} \lbrace U \cap \mathbb{I}_K(T) \rbrace \\ &= \bigcup_{P_\infty \subseteq T} \lbrace \prod_{v \in S \cap T} U_v \cap K_v^* \times \prod_{v \in S \setminus T} U_v \cap O_v^* \times \prod_{v \in T \setminus S} O_v \cap K_v^* \times \prod_{v \notin S \cup T} O_v^* \rbrace \end{aligned}$

であり,$U_v \cap K_v^*, U_v \cap O_v^*, O_v \cap K_v^* \in \mathcal{O}_{K_v^*}$となり,$S \cap T$は有限個の素点からなる有限集合なので,上の$U \cap \mathbb{I}_K$はイデール群の開集合となる.
　ここで主アデール$K$は,そのアデール環$\mathbb{A}_K$で離散であったことから,乗法群$K^*$の任意の元$a$をとって,$a$以外の$K^*$の元を含まないようなある開近傍$V$が存在する.$V \cap \mathbb{I}_K$はイデール群における$a$の開近傍であり,やはり他の$K^*$の元を含まない.
　したがって,主イデール$K^*$はイデール群$\mathbb{I}_K$の離散部分群である.　$\square$

　$\alpha \in \mathbb{A}_K \setminus \mathbb{I}_K^1$とする.このとき,$\alpha$の$\mathbb{A}_K$近傍$W$で$W \cap \mathbb{I}_K^1 = \varnothing$となるものを見つける.

(ⅰ)$\displaystyle \prod | \alpha_v |_v < 1$のとき, 素点$v$からなる有限集合$S$で,次の(1),(2)を満たすものが存在する.

(1)$S$は$| \alpha_v |_v >1$を満たす素点$v$をすべて含む.
(2)$\displaystyle \prod_{v \in S} | \alpha_v |_v <1$である.

このとき,$W$は十分小さな$\varepsilon > 0$に対し

$| \xi_v - \alpha_v |_v < \varepsilon　v \in S$
$| \xi_v |_v \le 1　v \notin S$

によって定義することができる.よって,$\varepsilon$の取り方から$W \cap \mathbb{I}_K^1 = \varnothing$である.

(ⅱ)$\displaystyle \prod_v |\alpha_v |_v = C >1$のとき,素点$v$からなる有限集合$S$で,次の(1),(2)を満たすものが存在する.

(1)$S$は$| \alpha_v|_v \neq 1$を満たす素点$v$をすべて含む.
(2)$v \notin S$のとき,$| \xi_v |_v <1$ならば$| \xi_v |_v < \frac{1}{2C} $.

ここで,$| \xi_v - \alpha_v |_v < \varepsilon \, (v \in S)$ならば$\displaystyle 1< \prod_{v \in S} | \xi_v | < 2C$を満たすような小さな$\varepsilon$をとることができ,よって$W$は

$| \xi_v - \alpha_v |_v < \varepsilon　v \in S$
$| \xi_v |_v \le 1　v \notin S$

によって定めることができる.このとき,$W$に属する元は$\mathbb{I}_K^1$には属さない.

　次に$\mathbb{I}_K^1$に対する$\mathbb{A}_K$上の相対位相と$\mathbb{I}_K$上の相対位相は一致することを示す.そこで,任意の$\alpha \in \mathbb{I}_K^1$に対し,そのすべての$\mathbb{I}_K$-近傍が$\alpha$の$\mathbb{A}_K$-近傍を含み,その逆も言えることを示す.
　$W$を$\alpha$の$\mathbb{A}_K$-近傍とする.このとき,$W$は

$| \xi_v - \alpha_v |_v < \varepsilon　(v \in S)$
$| \xi_v |_v \le 1　(v \notin S)$　　　　　　　　　(16.1)

を満たす元の集まりとして表せる.ここで$S$は素点$v$からなる有限集合とする.これは$\le$を$=$に置き換えることで,$\mathbb{I}_K$-近傍を含んでいることがわかる.
　$H$を$\alpha$の$\mathbb{I}_K$-近傍とする.このとき,$H$は

$| \xi_v - \alpha_v |_v < \varepsilon　(v \in S)$
$| \xi_v |_v = 1　(v \notin S)$　　　　　　　　　(16.2)

を満たす元の集まりとして表せる.ここで有限集合$S$はすべての無限素点$v$と$| \alpha_v |_v \neq 1$を満たす有限素点$v$を含む.
　$\displaystyle \prod |\alpha_v |_v = 1$であるから,上の条件を満たす$( \xi_v)_v $で$\displaystyle \prod | \xi_v |_v < 2$となるような小さな$\varepsilon$をとることができる.
　このとき,$H \cap \mathbb{I}_K^1= W \cap \mathbb{I}_K^1$となる.実際,$W \cap \mathbb{I}_K^1 \subset H \cap \mathbb{I}_K^1$は前述の通りである.逆に,(16.1)で$\varepsilon$を十分小さくとることで,$| \xi_v |_v =1 (v \notin S)$となり,$ H \cap \mathbb{I}_K^1 \subset W \cap \mathbb{I}_K^1$もわかる.
　よって,$\alpha$の$\mathbb{I}_K$-近傍は$\mathbb{A}_K$-近傍を含んでいる.　$\square$

　上で示した補題を用いると,$\mathbb{A}_K$のコンパクト集合$W$で写像

$W \cap \mathbb{I}_K^1 \to \mathbb{I}_K^1 / K^*$

が全射となるものが存在すれば十分である.実際,上の写像は自然な全射$\mathbb{I}_K^1 \to \mathbb{I}_K^1/K^*$の制限写像であり,$W \cap \mathbb{I}_K^1$に定まる位相が$ \mathbb{I}_K^1$における相対位相であることから,$W \cap \mathbb{I}_K^*$はコンパクトである.
　$W= \lbrace \xi = (\xi_v)_v | \, | \xi_v |_v \le | \alpha_v |_v \rbrace$とする.ここで$\alpha = (\alpha_v)_v$は,ある特殊な数$C$に対し,

$\displaystyle C < \prod_v | \alpha_v |_v $

を満たすものとする.
　$\beta = (\beta_v)_v \in \mathbb{I}_K^1$とするとき,ある$\eta \in K^*$が存在して,

$| \eta_v | \le | \beta_v^{-1} \alpha_v |_v　\text{ for all} \, v$

となる.このとき,$\eta \beta \in W$となり,全射性が示せた.　$\square$