３乗問題

$x^2-x-1=0$ のとき、
$x^2-x+1=2$
$2(x^2-x+1)=4$

$x-y=1$ と $x^2+y^2=3$ の交点とすると、

$x-1=0$
$\pm \sqrt{3-x^2}=0$

$x^2+(x-1{)}^2=3$

$x^2-2x+1=0$
$x^2=3$

$2x^2-2x+1=3$
$2x^2-2x+2=4$
$2(x^2-x+1)=4$

$x-1=0$ のとき、
$x+1=2$

$2(x+1)(x^2-x+1)=4(x+1)$
$\frac{2x^2}{3}(x+1)(x^2-x+1)=4(x+1)$

$\frac{2x^2}{3}=2$ のとき、
$x+1=2$

$(x+1)(x^2-x+1)=4$
$x^3+1=4$
$x^3=3$
$x=\sqrt[3]{3}$

$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ のとき、
$x^3=2+\sqrt{5}$
$x^3+1=3+\sqrt{5}$
$(x+1)(x^2-x+1)=3+\sqrt{5}$

$x-y=1$ と $x^2+y^2=2+\sqrt{5}$ の交点とすると、

$x-1=0$
$\pm \sqrt{2+\sqrt{5}-x^2}=0$

$x^2+(x-1{)}^2=2+\sqrt{5}$

$x^2-2x+1=0$
$x^2=2+\sqrt{5}$

$2x^2-2x+1=2+\sqrt{5}$
$2x^2-2x+2=3+\sqrt{5}$
$2(x^2-x+1)=3+\sqrt{5}$

$x-1=0$ のとき、
$x+1=2$

$2(x+1)(x^2-x+1)=(3+\sqrt{5})(x+1)$
$\frac{2x^2}{2+\sqrt{5}}(x+1)(x^2-x+1)=(3+\sqrt{5})(x+1)$

$\frac{2x^2}{2+\sqrt{5}}=2$ のとき、
$x+1=2$

$2(x^2-x+1)=3+\sqrt{5}$
$x^2-x+1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
$x^2-x-1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

あるいは、２重根のとき、
$(x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^2=0$
$x^2-(1+\sqrt{5})x+\frac{3+\sqrt{5}}{2}=0$

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ は $x^2-x-1=0$ の２重根ではない。

$(x-\frac{1+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2})=x^2-x-1$

$?$

$cf.$

$2x^2-2x-a+1=0$ のとき、
$2x^2-2x+1=a$

$x-y=1$ と $x^2+y^2=a$ の交点とすると、

$x^2-2x+1=0$
$x^2=a$

$x-1=0$
$\pm \sqrt{a-x^2}$

$x-1=0$ のとき、
$x+1=2$

$2x^2-2x+2=a+1$
$2(x^2-x+1)=a+1$

$\frac{2x^2}{a}(x+1)(x^2-x+1)=(a+1)(x+1)$

$(x+1)(x^2-x+1)=a+1$
$x^3+1=a+1$
$x^3=a$
$x=\sqrt[3]{a}$

$x=\sqrt[3]{a}$ のとき、
$x^3=a$
$x^3+1=a+1$
$(x+1)(x^2-x+1)=a+1$

$\frac{2x^2}{a}(x+1)(x^2-x+1)=(a+1)(x+1)$

$x-y=1$ と $x^2+y^2=a$ の交点とすると、

$x^2-2x+1=0$
$x^2=a$

$x-1=0$
$\pm \sqrt{a-x^2}$

$x-1=0$ のとき、
$x+1=2$

$2(x^2-x+1)=a+1$
$2x^2-2x+2=a+1$

$2x^2-2x+1=a$
$2x^2-2x-a+1=0$

$?$

$\sqrt{a-(\sqrt[3]{a}{)}^2}=\sqrt[3]{a}-1$
$a-(\sqrt[3]{a}{)}^2=(\sqrt[3]{a}{)}^2-2\sqrt[3]{a}+1$
$2(\sqrt[3]{a}{)}^2-2\sqrt[3]{a}-a+1=0$

$2x^2-2x-a+1=0$
$2x^2-2x+1=a$
$2x^2-2x+2=a+1$
$2(x^2-x+1)=a+1$

$x^2=a$
$x-1=0$ のとき、$x+1=2$

$\frac{2x^2}{a}(x+1)(x^2-x+1)=(a+1)(x+1)$

$(x+1)(x^2-x+1)=a+1$
$x^3+1=a+1$
$x^3=a$
$x=\sqrt[3]{a}$

$(\sqrt[3]{a}+1)\{(\sqrt[3]{a}{)}^2-\sqrt[3]{a}+1\}=a+1$
$a+1=a+1$
$a=a$
$0=0$

$?$