自分の導出した円周率の級数まとめ

今日は円周率の日ということで僕が見つけた円周率公式を挙げていこうと思います！(これ書いたら他に書くことなくなる～)

似たのが何個かありますね

シグマが整ってる系

\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}k!\left(3k\right)!\left(4k\right)!}{\left(2k\right)!\left(6k\right)!}&=&\frac{\pi}{250}+\frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}\left(49\sqrt{2}+92\right)}{500}\arctan\left(\sqrt{2}\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)+\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\left(49\sqrt{2}-92\right)}{1000}\ln\left(\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{2}\sqrt{1+\sqrt{2}}}{1+\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{1+\sqrt{2}}}\right)+\frac{27}{25} \\\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8^k(2k)!^2(3k)!}{k!(6k)!}&=&\frac{12\sqrt{2}}{125}\pi-\frac{21\sqrt{2}}{125}\ln\left(1+\sqrt{2}\right)+\frac{27}{25} \\\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k!\left(2k\right)!}{2^{k}\left(3k\right)!}&=&\frac{11}{250}\pi-\frac{6}{125}\ln2+\frac{27}{25} \\\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(2k\right)!^{2}}{\left(4k\right)!}&=&\frac{\pi}{9\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{5}}\ln\left(\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}\right)+\frac{16}{15} \\\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{k!^{2}}{(2k)!}}&=&\frac{2}{9\sqrt{3}}\pi+\frac{4}{3} \end{eqnarray}

$\pi$に収束するやつ($\frac{k!^2}{(2k+1)!}$系)は除きます

\begin{eqnarray} \pi&=&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k!(2k)!(5k+3)}{2^{k-1}(3k+2)!} \\\pi&=&\frac{3\sqrt{3}}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2k)!(2k+1)!(10k+7)}{(4k+3)!} \\\pi&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8^{k+2}(2k)!(2k+1)!(3k+2)!(5k+4)}{k!(6k+5)!} \\\pi&=&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k+3}k!\left(3k+2\right)!\left(4k\right)!(40k^2+60k+23)}{\left(2k\right)!\left(6k+5\right)!} \\\pi&=&2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2k+1)!(4k)!(290k^3+517k^2+286k+47)}{4^{k-1}(6k+5)!} \end{eqnarray}
　　　　　　　　　　↑こいつが一番速いです

$\pi$に収束するやつ$\frac{k!^2}{(2k+1)!}$系

収束が遅い順に書きます
\begin{eqnarray} \pi&=&\frac{3}{5}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{k!^2}{(2-\sqrt{3})^k(2k+1)!}} \\\pi&=&\frac{5}{\sqrt{5+2\sqrt5}}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{2^{k-2}k!^2}{(1-\frac{1}{\sqrt{5}})^k(2k+1)!}} \\\pi&=&\frac{\sqrt{3}}{4}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{3^{k+1}k!^2}{(2k+1)!}} \\\pi&=&\frac{25}{3\sqrt{25+10\sqrt{5}}}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{2^kk!^2}{(3-\sqrt5)^{k+1}(2k+1)!}} \\\pi&=&\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{2^{k+1}k!^2}{(2k+1)!}} \\\pi&=&\frac{25}{\sqrt{5-2\sqrt5}}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(2\sqrt5)^{k-1}k!^2}{(1+\sqrt{5})^k(2k+1)!}} \\\pi&=&\frac{3\sqrt{3}}{2}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{k!^2}{(2k+1)!}} \\\pi&=&5\sqrt{5+2\sqrt{5}}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{2^kk!^2}{(3+\sqrt{5})^{k+1}(2k+1)!}} \\\pi&=&3\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{k!^2}{(2+\sqrt{3})^k(2k+1)!}} \end{eqnarray}

最後に

はい、書くことがもうなくなってしまいました笑
なんか面白いの見つけたらまた書きます