Granville-Zagier の和公式の別証明
はじめに
大した話ではありませんが, 多重ゼータ値の和公式の証明 (Zagier の積分使うやつ) で超越的な変数変換を使わなくともできるなぁと思いついたので (論文にするほどでもないため) ここに放り投げます.
Notations
今回は次のように多重ゼータ値を表す: 正整数 $k_{1},\ldots,k_{r}\ge 1$ ($k_{r}\ge 2$) に対し
$$\zeta(k_{1},\ldots,k_{r})\coloneqq\sum_{0< n_{1}<\cdots< n_{r}}\frac{1}{n_{1}^{k_{1}}\cdots n_{r}^{k_{r}}}$$
と書く. また $s < t$ なる実数 $s,t$ および $a_{1},\ldots,a_{k}\in\mathbb{C}\setminus(s,t)$ ($s\neq a_{1}$, $t\neq a_{k}$) に対し
$$I(s;a_{1},\ldots,a_{k};t)\coloneqq\int_{s< x_{1}<\cdots< x_{k}< t}\prod_{i=1}^{k}\frac{dx_{i}}{x_{i}-a_{i}}$$
と書く.
本論
今回扱う和公式とは次のような定理である:
正整数 $0 < r < k$ に対し
$$\sum_{\substack{k_{1},\ldots,k_{r}\ge 1\\ k_{r}\ge 2\\ k_{1}+\cdots+k_{r}=k}}\zeta(k_{1},\ldots,k_{r})=\zeta(k)$$
が成り立つ.
証明には次の事実を使う.
正整数 $k_{1},\ldots,k_{r}$ ($k_{r}\ge 2$) に対し
$$\zeta(k_{1},\ldots,k_{r})=(-1)^{r}I(0;1,\underbrace{0,\ldots,0}_{k_{1}-1},\ldots,1,\underbrace{0,\ldots,0}_{k_{r}-1};1)$$
が成り立つ.
示したい等式の母関数をとる.
十分小さい正の実数 $A,W$ をとると,
\begin{align}
\sum_{0< r< k}\sum_{\substack{k_{1},\ldots,k_{r}\ge 1\\ k_{r}\ge 2\\ k_{1}+\cdots+k_{r}=k}}\zeta(k_{1},\ldots,k_{r})A^{r}W^{k}
&=\sum_{0< r< k}\sum_{\substack{k_{1},\ldots,k_{r}\ge 1\\ k_{r}\ge 2\\ k_{1}+\cdots+k_{r}=k}}(-1)^{r}I(0;1,\underbrace{0,\ldots,0}_{k_{1}-1},\ldots,1,\underbrace{0,\ldots,0}_{k_{r}-1};1)A^{r}W^{k}\\
&=\sum_{k=2}^{\infty}\sum_{\substack{a_{1},\ldots,a_{k}\in\{0,1\}\\ a_{1}=1,~a_{k}=0}}I(0;a_{1},\ldots,a_{k};1)(-A)^{a_{1}+\cdots+a_{k}}W^{k}\\
&=\sum_{k=2}^{\infty}\sum_{\substack{a_{1},\ldots,a_{k}\in\{0,1\}\\ a_{1}=1,~a_{k}=0}}\int_{0 < s < t < 1}\frac{-A}{s-1}I(s;a_{2},\ldots,a_{k-1};t)\frac{1}{t}\,dsdt\cdot (-A)^{a_{2}+\cdots+a_{k-1}}W^{k}\\
&=\sum_{k=2}^{\infty}\int_{0 < s < t < 1}\frac{-AW}{s-1}\cdot\frac{1}{(k-2)!}\left(\int_{s}^{t}\left(\frac{-AW}{x-1}+\frac{W}{x}\right)\,dx\right)^{k-2}\frac{W}{t}\,dsdt\\
&=-AW^{2}\int_{0 < s < t < 1}s^{-W}(s-1)^{AW-1}\,ds\,t^{W-1}(t-1)^{-AW}dt
\end{align}
がいえる.
変数変換 $\displaystyle(x,y)=\left(\frac{s(1-t)}{t(1-s)},\frac{1-t}{1-s}\right)$ を考える. このJacobianは
$$\left|\frac{\partial(s,t)}{\partial(x,y)}\right|=\frac{(y-x)(y-1)}{(x-1)^{3}y^{2}}$$
と計算できて, 積分範囲は $0 < x < y < 1$ にうつるため
\begin{align}
\sum_{0< r< k}\sum_{\substack{k_{1},\ldots,k_{r}\ge 1\\ k_{r}\ge 2\\ k_{1}+\cdots+k_{r}=k}}\zeta(k_{1},\ldots,k_{r})A^{r}W^{k}
&=AW^{2}\int_{0 < x < y < 1}\frac{x^{-W}}{x-1}\,dx\,y^{W-AW-1}\,dy\\
&=\frac{AW}{1-A}\int_{0}^{1}\frac{x^{-W}-x^{-AW}}{x-1}\,dx\\
&=\frac{AW}{1-A}\sum_{k\ge 2}\frac{W^{k-1}}{(k-1)!}(1-A^{k-1})I(x;0;1)^{k-1}\frac{dx}{x-1}\\
&=\sum_{k\ge 2}\int_{0}^{1}\left(\int_{x< t_{1}<\cdots< t_{k-1}<1}\frac{dt_{1}}{t_{1}}\cdots\frac{dt_{k-1}}{t_{k-1}}\right)\frac{dx}{x-1}\frac{A(1-A^{k-1})}{1-A}W^{k}\\
&=\sum_{k\ge 2}I(0;1,\underbrace{0,\ldots,0}_{k-1};1)\frac{A(1-A^{k-1}}{1-A}W^{k}\\
&=\sum_{k\ge 2}\zeta(k)(1+A+\cdots+A^{k-1})W^{k}
\end{align}
を得る. 両辺の $A^{r}W^{k}$ の係数を比較すれば所望の等式を得る.