三角形の内接円と外接円の相似比

下記画像のように、三角形を「その内心 $I$ から伸びる各辺への線分」で分割する。

内接円の半径と面積

すると、$S = \frac{1}{2}ar \ + \frac{1}{2}br \ + \frac{1}{2}cr \ = tr$ である。

正弦定理及び「$2$ 辺とその間の角による面積公式」から、$S = \frac{1}{2}bc \ \mathrm{sin}A = \frac{1}{2}bc \ \cdot \frac{a}{2R} = \frac{abc}{4R}$ である。これを整理して主張を得る。

余弦定理を用いて、次のように変形していく。

$\begin{align} \beta - 1 &= \mathrm{cos}A \ + \mathrm{cos}B \ + \mathrm{cos}C -1 \\ &= \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \ + \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} \ + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \ - 1 \\ &= \frac{1}{2abc} \{ a(b^2 + c^2 - a^2) + b(c^2 + a^2 - b^2) + c(a^2 + b^2 - c^2) -2abc \} \\ &= \frac{1}{2abc} ( ab^2 + c^2 a - a^3 + bc^2 + a^2 b - b^3 + ca^2 + b^2 c - c^3 -2abc ) \\ &= \frac{1}{2abc} \{ -a^3 + (b + c)a^2 + (b^2 - 2bc + c^2)a + (-b^3 + bc^2 + b^2 c -c^3) \} \\ &= \frac{1}{2abc} \{ -a^3 + (b + c)a^2 + (b - c)^2 a + (-b(b^2 -c^2) + (b^2 - c^2)c) \} \\ &= \frac{1}{2abc} \{(b + c - a)a^2 + (b - c)^2 a - (b-c)^2 (b + c)\} \\ &= \frac{1}{2abc} (b + c - a) \{a^2 - (b-c)^2\} \\ &= \frac{1}{2abc} (b + c - a)(a - b + c)(a + b - c) \\ \end{align}$

ここで、$t = \frac{1}{2}(a + b + c)$ とおく。また $S$ を三角形の面積とする。その上で、ヘロンの公式と「内接円の半径による面積公式」を用いれば、

$\begin{align} \beta - 1 &= \frac{1}{2abc} \cdot 2(t-a) \cdot 2(t-b) \cdot 2(t-c) \\ &= \frac{4}{abct} t(t-a)(t-b)(t-c) \\ &= \frac{4}{abct} S^2 \\ &= \frac{4}{abct} S \cdot tr \\ &= \frac{4Sr}{abc} \\ \end{align}$

を得る。最後に、「外接円の半径による面積公式」を用いれば、下記のように主張を得る。

$$\beta - 1 = \frac{4Sr}{abc} = \frac{4Sr}{4SR} = \frac{r}{R}$$

主張において、$\beta - 1 = 2 \ \mathrm{cos}\theta \ (1 - \mathrm{cos}\theta)$ を示せば、残りの部分は $\mathrm{cos}\theta$ に関する平方完成によって得られる。
そしてこれは倍角の公式を用いた次の計算によりわかる。

$\begin{align} \beta - 1 &= \mathrm{cos}\theta + \mathrm{cos}\theta + \mathrm{cos}(\pi - 2 \theta) -1 \\ &= 2\mathrm{cos}\theta - \mathrm{cos}(2 \theta) -1 \\ &= 2\mathrm{cos}\theta - (2\mathrm{cos}^2\theta -1) -1 \\ &= 2\mathrm{cos}\theta(1 - \mathrm{cos}\theta) \\ \end{align}$

二等辺三角形の底角の大きさを $\theta$ とする。このとき、$\mathrm{cos}\theta = \frac{\frac{b}{2}}{a} = \frac{b}{2a}$ である。
よって一つ前の命題にこれを代入すれば $\beta-1 = 2\mathrm{cos}\theta(1 - \mathrm{cos}\theta) = 2 \cdot \frac{b}{2a} \cdot (1 - \frac{b}{2a}) = \frac{b}{2a^2}(2a-b)$ となり主張が従う。

$\beta - 1 = \mathrm{cos}A + \mathrm{cos}B + \mathrm{cos}C - 1 = \frac{b}{c} + \frac{a}{c} + 0 - 1 = \frac{a + b - c}{c}$ より主張を得る。

直角三角形において、その斜辺の長さは外接円の直径に一致することに注意する（この事実の証明は、本質的には円周角の定理だが、おそらく正弦定理で「斜辺に向かい合う角が直角である」ことに気づく方が早い。）。

よって、この直角三角形の外接円の半径 $R$ について、$c = 2R$ である。これと直前の結果である $\frac{a + b - c}{c}R ＝ r$ を合わせれば次のようにして主張を得る。

$$r = \frac{a + b - c}{c}R = \frac{a + b - c}{2R}R ＝ \frac{1}{2}(a + b - c)$$

主定理より、$\beta = \frac{r}{R} + 1 > 1$ である。
また、$\beta$ 定数の定義から $\beta = \mathrm{cos}A + \mathrm{cos}B + \mathrm{cos}C \leq 1 + 1 + 1 = 3$ である。

$1 < \beta$ は既にわかっているから $\beta \leq \frac{3}{2}$ を示せば良い。また、$\beta = \frac{3}{2}$ となる三角形の存在は、正三角形によって既にわかっていることに注意する。

さて、$\beta \leq \frac{3}{2}$ は三角形の三辺 $a, b, c$ に関する不等式

$$ab^2 + c^2a + bc^2 + a^2b + ca^2 + b^2c \leq a^3 + b^3 + c^3 + 3abc$$

を示すことで従う。実際、この不等式が示せていたとすると、
$\begin{align} ab^2 + c^2a + bc^2 + a^2b + ca^2 + b^2c &\leq a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \\ (ab^2 + c^2a - a^3) + (bc^2 + a^2b - b^3) + (b^2c + ca^2 - c^3) &\leq 3abc \\ a(b^2 + c^2 - a^2) + b(c^2 + a^2 - b^2) + c(b^2 + a^2 - c^2) &\leq 3abc \\ \frac{a(b^2 + c^2 - a^2)}{2abc} + \frac{b(c^2 + a^2 - b^2)}{2abc} + \frac{c(b^2 + a^2 - c^2)}{2abc} &\leq \frac{3}{2} \\ \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} + \frac{b^2 + a^2 - c^2}{2ab} &\leq \frac{3}{2} \\ \end{align}$

最後に余弦定理を用いて左辺の各項を書きかえれば主張が従う。

下記の不等式を示す。右辺から左辺を引いた結果が非負であることを示す。辺の対称性から $a \leq b \leq c$ と仮定してよい。
$$ab^2 + c^2a + bc^2 + a^2b + ca^2 + b^2c \leq a^3 + b^3 + c^3 + 3abc$$

$\begin{align} a^3 + b^3 + c^3 + 3abc - (ab^2 + c^2a + bc^2 + a^2b + ca^2 + b^2c) &= (a^3 + a^2b - ab^2 - b^3) + c^3 + 3abc - c^2a - bc^2 - ca^2 - b^2c \\ &= (a + b)(a - b)^2 + (c^3 - c^2a) - (bc^2 - abc) + (abc - ca^2) - (b^2c - abc) \\ &= (a + b)(b - a)^2 + c^2(c - a) - bc(c - a) + ca(b - a) - bc(b - a) \\ &= (a + b)(b - a)^2 + c(c - a)(c - b) -c(b - a)^2 \\ &= (a + b - c)(b - a)^2 + c(c - a)(c - b) \geq 0 \\ \end{align}$

となり、不等式が証明できた。なお、最終行の第一項は三角形の三辺の関係式 $a + b > c$ により正である。

$\frac{r}{R} = \beta - 1 \leq \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ より主張が従う。

第一余弦定理を用いて、次のように変形を行う。

$\begin{align} (a + b + c)(\mathrm{cos}A + \mathrm{cos}B + \mathrm{cos}C) &= (b \ \mathrm{cos}C + c \ \mathrm{cos}B) + (c \ \mathrm{cos}A + a \ \mathrm{cos}C) + (a \ \mathrm{cos}B + b \ \mathrm{cos}A) + (a \ \mathrm{cos}A + b \ \mathrm{cos}B + c \ \mathrm{cos}C) \\ (a + b + c)\beta &= (a + b + c) + (a \ \mathrm{cos}A + b \ \mathrm{cos}B + c \ \mathrm{cos}C) \\ (a + b + c)(\beta -1) &= a \ \mathrm{cos}A + b \ \mathrm{cos}B + c \ \mathrm{cos}C \\ \end{align}$

ここで、 $t := \frac{1}{2}(a + b + c)$ とおく。また、主定理を用いて $\beta - 1 = \frac{r}{R}$ と置き換える。すると、「内接円の半径による面積公式」から、左辺は次のように変形できる。

$$(a + b + c)(\beta -1) = 2t \left(\frac{r}{R}\right) = \frac{2S}{R}$$

これより、

$\begin{align} \frac{2S}{R} &= a \ \mathrm{cos}A + b \ \mathrm{cos}B + c \ \mathrm{cos}C \\ 4S &= 2R \ (a \ \mathrm{cos}A + b \ \mathrm{cos}B + c \ \mathrm{cos}C) \\ 4S &= 2R \ a \ \mathrm{cos}A + 2R \ b \ \mathrm{cos}B + 2R \ c \ \mathrm{cos}C \\ \end{align}$

ここで、正弦定理を用いれば、

$\begin{align} 4S &= \left(\frac{a}{\mathrm{sin}A}\right) \ a \ \mathrm{cos}A + \left(\frac{b}{\mathrm{sin}B}\right) \ b \ \mathrm{cos}B + \left(\frac{c}{\mathrm{sin}C}\right) \ c \ \mathrm{cos}C \\ &= a^2 \left(\frac{1}{\frac{\mathrm{sin}A}{\mathrm{cos}A}}\right) + b^2 \left(\frac{1}{\frac{\mathrm{sin}B}{\mathrm{cos}B}}\right) + c^2 \left(\frac{1}{\frac{\mathrm{sin}C}{\mathrm{cos}C}}\right)\\ &= \frac{a^2}{\mathrm{tan}A} + \frac{b^2}{\mathrm{tan}B} + \frac{c^2}{\mathrm{tan}C} \end{align}$

を得る。これを整理して主張が従う。