数学コンテストの関数方程式の問題まとめ② (R→R応用)

$f(f(x))=1-f(x)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(1-x)=1-f(f(x))$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
ただし$f$は狭義単調増加.

$f(f (x)) = f (x)^2$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$f (1) = 1$，$f$は連続で単調な関数.

$f(x) + g(x) = 2x$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$
ただし$f$は狭義単調増加，かつ$g$は$f$の逆関数.

$f(f(x))-x^2+x+3=0$　$(\mathbb{R}\to\mathbb{R})$　は存在しないことを示せ.

$f(f(x))=x^2-x+1$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
のとき，$f(0)$を決定せよ。

$f(f(x))=f(x)+x \quad\forall x \in \mathbb{R}$
$f(f(x)-x)=f(x)+ax \quad\forall x \in \mathbb{R}$
をみたす$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$が存在するような$a\in\mathbb R$を全て求めよ.

$f(ax) = a$ および $ f(f(x)) = a f(x)$をみたす非定数関数 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$が存在するような$a \in \mathbb R$ を全て求めよ.

$\displaystyle f\left(x+\frac1{f(x)}\right)<2f(x)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+})$

$f(x)(1+|f(x)|)\geq x \geq f(x(1+|x|))$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(x + f^{100}(y)) = x + y $または$ f(f^{100}(x) + y) = x + y \quad\forall x,y \in\mathbb{R}$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(x^{2015} + (f(y))^{2015}) = (f(x))^{2015} + y^{2015}$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(x^2+f(y))=f(x)^2-y$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$　は存在するか？

$f(x+f(y))=f(x)+\sin y$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$　は存在するか？

以下の3条件をみたす$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$は存在するか？
(a)　$f(x+f(y)) = f(x+y) + 1 \quad\forall x,y \in \mathbb{R}$
(b)　$f(x_0)$が整数となるような、有理数だが整数でない$x_0$が存在する.
(c)　$f(0) = 1$

$f (f(x) + y) = f(x + y) + f (0)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
ただし$f$は狭義単調増加.

$f(a)+f(b)=f(a)f(b)+f(a+b-ab) \quad\forall a,b \in \mathbb{R}, a<1< b$
$f(0)=0$，$f(1)=1$をみたす広義単調増加な$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$を全て求めよ.

$f(f(x)) + f(y) = f(x + f(y)) + 1$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$
ただし$f$は広義単調増加.

$f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$
ただし$f$は上に有界.

$f(x)+f(y)+f(xy)=f(x+y+xy)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
ただし$f$は連続関数.

$f(x^4+y)=x^3f(x) + f(f(y))$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$
ただし$f(s)=0$を満たす$s \in \mathbb{R}$ は高々有限個.

$f(x)f(y) + f(x + y) = axy$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$
$a$は与えられた0でない実数.

$f(f(x)+f(y))+cxy=f(x+y)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$c$は与えられた実数.

$f(x)^nf(x+y)=f(x)^{n+1}+x^nf(y)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$n$は与えられた正の整数

$f(x-f(y))=f(x+y^n)+f(f(y)+y^n)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$n$は与えられた2以上の整数.

$(x+y)(f(x)-f(y))=a(x-y)f(x+y)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$a$は与えられた実数.

$f\left(x^2+y^2\right)=f(x-y)f(x+y)+\alpha yf(y)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$\alpha\neq0$は与えられた実数.

$f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}$
$a$は与えられた実数.

$f(2x) = af(x) + bx \quad\forall x \in \mathbb{R}$
$\displaystyle f(x)f(y) = f(xy) + f \left( \frac {x}{y} \right) \quad\forall x, y \in \mathbb{R}, y \neq 0$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$a,b$は与えられた$0$でない実数.

$f(x)f(y) \leq f(xy)+\alpha x+\beta y$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
ただし$ \alpha, \beta$は$\alpha+\beta \geq 2$をみたす与えられた非負実数.

$f(x^2 +y+ f(y)) = f(x)^2 +αy$
をみたす$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$がちょうど一つ存在するような$α \in \mathbb{R}$を全て求めよ.

$f(x+f(y))= Ax+By+C$
をみたす$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$が存在するような$A,B,C \in \mathbb{R}$を全て求めよ.

$f(x+y+f(y))=f(x)+ay\quad\forall x,y\in\mathbb{R}$
$f(1)=2016$
をみたす$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$が存在するような$a\in\mathbb{R}$を全て求めよ

$f^a(x)f^b(y) + f^b(x)f^a(y) = 2xy \quad\forall x, y \in \mathbb{R}$　
をみたす$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$が$f(x) = x$のみとなる正の整数の組 $(a, b)$ を全て求めよ.

$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)$　$(f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$g(f(x+y))=f(x)+(2x+y)g(y)$　$(f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$xf(x+y)+\alpha yf(x-y)=g(x)+g(y)$　$(f,g :\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$\alpha$は与えられた実数.

$ f(x+y^3)+g(x^3+y)=h(xy)$　$(f,g,h:\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$\begin{cases} f_1(x)-f_2 (x)f_2(y)+ f_1(y) = 0 \\ f_2(x^2)-f_3 (x)f_3(y)+ f_2(y^2) = 0 \\ ... \\ f_n(x^n)-f_1 (x)f_1(y)+ f_n(y^n) = 0 \end {cases}$　$(f_1,..., f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$n \ge 2$は与えられた整数.

$f(x + f(y)) = g(x) + h(y)$
$g(x + g(y)) = h(x) + f(y)$
$h(x + h(y)) = f(x) + g(y)$　$(f,g,h:\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$g(f(x)) = x^3$ および $f(g(x)) = x^2$ をみたす
(1)　$f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ は存在しないことを示せ。
(2)　$f,g:\mathbb{R}^{\gt1} \rightarrow \mathbb{R}^{\gt1}$ は存在することを示せ。

$g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$を与えられた値域が有限の関数とする.
$2f(x+g(y))=f(2g(x)+y)+f(x+3g(y)) \quad\forall x,y \in \mathbb{R}$
をみたす$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を全て求めよ.

$f(x^2-g(y))=g(x)^2-y$　$(f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(f(x) +yg(x)) = (x+1)g(y) +f(y)$　$(f,g:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q})$

$f (x+g(y)) =xf(y)+(2023-y)f(x)+g(x)　(f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R})$
ただし$f (0)=2022$

$f(x+yg(x))=g(x)+xf(y)　(f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$ f (x + y) + f (x-y) -2f (x) = g (x) y^2 $　$(f,g: \mathbb {R} \to \mathbb {R})$
$f$は凹関数，$g$は連続関数のとき，$f$は2次の多項式であることを示せ.

$(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$(f(a)-f(b))(f(b)-f(c))(f(c)-f(a))=f(ab^2+bc^2+ca^2)-f(a^2b+b^2c+c^2a)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)-f(y))+f(2xy+f(z))+2f(xz-yz)$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$

$f (f(x)f(y) + f(y)f(z) + f(z)f(x))= f(x) + f(y) + f(z)$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$

$(f(x)+1)(f(y)+f(z))=f(xy+z)+f(xz-y)$　$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

$f(x) + f(y) + f(z) = f(xyz) \quad\forall x,y,z \in \mathbb{R}, x + y + z = 1$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$ f(x^3) + f(y)^3 + f(z)^3 = 3xyz \quad\forall x,y,z, \in \mathbb{R}, x+y+z=0$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$a,b,c \in \mathbb{R}$が$a + f(b) + f(f(c)) = 0$をみたすならば
$ f(a)^3 + bf(b)^2 + c^2f(c) = 3abc $が成り立つような
$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$を全て求めよ.

$f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=f(0,x+y+z)$　$(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q})$

$f(x,y) = af (x,z) + bf(y,z) \quad\forall x,y,z \in R$　$(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$a, b$は与えられた実数.

$f(x - t, y) + f(x + t, y) + f(x, y - t) + f(x, y + t) = 2010 \quad\forall x,y \in \mathbb{R},t \in \mathbb{R}_{\neq 0}$　$(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$

$a,b,c$の中央値$=f(a,b),f(b,c),f(c,a)$の中央値　$(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$

$az+bx+cy\neq ay+bz+cx$をみたす$x,y,z,a,b,c \in \mathbb{R}$に対し，
$\displaystyle f\left(\frac{x+y+z}{3},\frac{a+b+c}{3}\right)=f(x,a)f(y,b)f(z,c)$　$(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$

1辺の長さが1であるような任意の四角形の頂点$A,B,C,D$に対し，
$f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0$　$(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to\mathbb {R})$

$xf(y)+yf(x)\leq xy$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$

$f(f(x) - y) \le xf(x) + f(y)$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$

$f(x + y) \geq xf(1 + y)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(x+y)\le f(x)+f(y)\le x+y$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$(x-y)(f(x)+f(y))\leq f(x^2-y^2)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(x + y) + y \le f(f(f(x)))$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$(f(x))^2+(f(y))^2 \leq 2f(xy)$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z})$

$xf(xy) + xyf(x) \ge f(x^2)f(y) + x^2y$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(x^2)-f(y^2) \le (f(x)+y)(x-f(y))$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$\displaystyle f(x^2 + y) \ge \left(\frac{1}{x} + 1\right)f(y) \quad\forall x, y \in \mathbb{R},x \neq 0$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(x+y)\le yf(x)+f(f(x))$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$x \leq 0$のとき$f(x)=0$であることを示せ.

$\displaystyle \frac{f(x)+f(y)}{2}\geq f\left(\frac{x+y}{2}\right)+|x-y|$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
をみたす$f$は存在しないことを示せ.

$f(x+(x+1)f(y))=y+(y+1)f(x)$　$(\mathbb{R}^{\geq -1} \to \mathbb{R}^{\geq -1})$
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$は$-1 \lt x \lt 0$と$0 \lt x$で狭義単調増加.

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$が以下をみたすとき，$f(x) \geq 0 \,(\forall x \in \mathbb{R})$ または $f(x) \leq 0 \,(\forall x \in \mathbb{R})$ であることを示せ.
　$f(x+y)f(x-y)\geq{f(x)}^2-{f(y)}^2 \quad\forall x,y \in \mathbb{R}$
　ある$x_0,y_0 \in \mathbb{R}$で不等号が成り立つ.

$f\left(x^2+2y f(x)\right) + (f(y))^2 \leq f\left((x+y)^2\right)$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$

$\displaystyle \left|\sum_{i=1}^n i\left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)\right|<2016 \quad\forall x \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$　$(\mathbb R \rightarrow \mathbb R)$

$\displaystyle f(y) - \left(\frac{z-y}{z-x} f(x) + \frac{y-x}{z-x}f(z)\right) \leq f\left(\frac{x+z}{2}\right) - \frac{f(x)+f(z)}{2} \quad\forall x,y,z \in \mathbb{R},x < y < z$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(a^3 ) + f(b^3 ) + f(c^3 ) \geq 3f(abc) \quad\forall a,b,c \in \mathbb{R}, a + b + c \geq 0$
$f(a^3 ) + f(b^3 ) + f(c^3 ) \leq 3f(abc) \quad\forall a,b,c \in \mathbb{R}, a + b + c \leq 0$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(x)+f(y)+1 \geq f(x+y) \geq f(x)+f(y)$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$
$f(0) \geq f(x) \quad\forall x \in [0,1)$
$f(1)=1, f(-1)=-1$

$f(x+y)f(x-y)\geq f(x)^2-f(y)^2$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
のとき，$f(x)\geq 0 \,(\forall x \in \mathbb{R})$ または $f(x)\leq 0 \,(\forall x \in \mathbb{R})$ であることを示せ.

$f(x+y^2)=f(x)+|yf(y)|$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$|x|f(y) + yf(x) = f(xy) + f(x^2) + f(f(y))$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(x)f(f(x) + y)= f(x)^2 + \lfloor x \rfloor\lfloor y\rfloor$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$

$f(\lfloor x^k + f(y)\rfloor) = y +\lfloor f(x)\rfloor^k$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
$k$は与えられた2以上の整数.

$f(x-f(y))=f(x)+a\lfloor y\rfloor$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
をみたす$f$が存在する$a \in \mathbb{R}$をすべて求めよ.

$f(x+y)^2 = 2f(x)f(y) + \max \left\{ f(x^2+y^2), f(x^2)+f(y^2) \right\}$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
ただし$f(0) \neq 0$.

$f(x^2yf(x))+f(1)=x^2f(x)+f(y)$　$(\mathbb{R}^{\neq 0} \to \mathbb{R}^{\neq 0})$

$\displaystyle f(x)f \left( f \left(\frac{1 - y}{1 + y} \right)\right) = f\left(\frac{x + y}{xy + 1}\right) \quad\forall x,y,z \in \mathbb{R}, (x + 1)(y + 1)(xy + 1) \neq 0$
$(\mathbb{R}^{\neq -1}\to\mathbb{R})$

${f(x) + f(y) = f(xy f(x + y)) \quad\forall x,y \in \mathbb{R}^{\neq 0}, x + y\ne 0}$　$(\mathbb{R}^{\neq 0} \to \mathbb{R}^{\neq 0})$

$f(x) \neq 0\quad\forall x \in \mathbb{R}_{\neq 0}$
$\displaystyle \frac{f(x)}{f(y)} + \frac{f(y)}{f(x)} - f \left( \frac{x}{y}-\frac{y}{x} \right) =2 \quad\forall x,y \in \mathbb{R}^{\neq 0}$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$

$\displaystyle (x-y)f(y^2)+f\left(xy\,f\left(\frac{x^2}{y}\right)\right)=f(y^2f(y))$　$(\mathbb{R}^{\neq 0} \to \mathbb{R}^{\neq 0})$

$f(x+y) \left(f(x) + f(y)\right) = f(xy) \quad\forall x,y \in \mathbb{R}^{\neq 0},x+y \neq 0$　$(\mathbb{R}^{\neq 0} \to \mathbb{R}^{\neq 0})$
$f$は単射.

$\displaystyle (f(f(x))+y)f \left(\frac{y}{x} \right)+f(f(y))=x \quad\forall x,y \in \mathbb{R}^{\neq -1}, x \neq 0,y \neq -x$　$(\mathbb{R}^{\neq -1}\rightarrow\mathbb{R}^{\neq -1})$

$f(xy) = f(x)f(−y) − f(x) + f(y) \quad\forall x,y \in \mathbb{R}^{\neq 0}$
$\displaystyle f(f(x))f\left(\frac{1}{x}\right) = 1 \quad\forall x \in \mathbb{R},x \neq 0,1$　$(\mathbb{R}^{\neq 0} \to \mathbb{R}^{\neq 1})$

全ての無理数$a,b$に対し，$f(ab) = f(a+b)$が成り立つような
$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$を全て求めよ

$f(xf(y))=yf(x)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
のとき，$f$は奇関数であることを示せ。

$f(3x + y) + f(3x-y) = f(x + y) + f(x - y) + 16f(x)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
のとき，$f$は偶関数であることを示せ.

$f(x^3 +y^3) = (x+y)(f(x)^2 − f(x)f(y)+ f(y)^2 )$　$(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})$
のとき，$f(1996x) = 1996 f(x)$を示せ.

$f(x+f(y))=f(x)+f(y)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{R})$
をみたす全ての$f$に対し，$f(z)=qz $となる$z\in\mathbb{R}$が存在するような$q\in\mathbb{Q}$を全て求めよ.

$\left( f(f(y) - x) \right)^2+ f(x)^2 + f(y)^2 = f(y) \cdot \left( 1 + 2f(f(y)) \right)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{Z})$

次をみたす$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$を全て求めよ.
多重集合$\{(f(xf(y)+1),f(yf(x)-1)\}$と多重集合$\{xf(f(y))+1,yf(f(x))-1\}$が同一である　$\forall x,y \in \mathbb{R}$
ただし，多重集合$\{a,b\}$と多重集合$\{c,d\}$が同一であるとは，$a=c,b=d$または$a=d,b=c$と同値である.

$\displaystyle f \left(x+\frac{1}{f (y )} \right)=f \left(y+\frac{1}{f (x )} \right)$　$(\mathbb{R} \to \mathbb{N})$
のとき，$f$の値とならない正の整数が存在することを示せ.

任意の$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$に対し、$f(x-f(y))>yf(x)+x$をみたす$x,y \in \mathbb{R}$が存在することを示せ.

相異なる$x,y \in \mathbb{Q}$が，${xy=1}$または${x+y\in \{0,1\}}$をみたすとき，$f(x)f(y)=-1$が成り立つような$f: \mathbb{Q} \rightarrow \{-1,1\}$は存在するか?

次の条件をみたす$c \in \mathbb{N}$が存在することを示し，$c$としてありうる最小値を求めよ.
「$f(x+f(y)) = f(x) + y$ または$f(f(x)+y) = x + f(y) \quad\forall x,y \in \mathbb{Q}$
をみたす任意の$f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$に対し，$r \in \mathbb{Q}$を用いて$f(r) + f(-r)$と表せる値は高々$c$種類である」