なぜ1は素数ではないのか

導入

まず素数の定義は

というものだ。
ではどうして1も素数として

という定義にしてはいけなかったのだろうか。
「そうすると都合が悪いから」ということが理由であるが、
具体的にどのような点で都合が悪かったのだろうか。

素因数分解の一意性

素因数分解とは1を除いた自然数を素数の積で表すことであり、
素因数分解の一意性がある。
もし1が素数なら

のように素因数分解が一通りに決まらなくなってしまう。
それどころか無数にパターンができてしまう。

素数の個数に関する定理

ゴールドバッハ予想や素数定理などの多くの素数の個数に関する定理は1を素数としない前提の予想なのでそれが崩れる。

最大公約数と最小公倍数

これらを求めるときに指数の最小値・最大値を取るが、 1 を素数にすると指数が無限に増えるので 「1 の指数をどう扱うか」という余計な規則が必要になる。

1の役割

そもそも1という数は乗法においての単位元であり、素数は素元なのでそもそも役割が全然違う。

さらに1を素数にすると1はどんな数も割るため素元が無意味になってしまう。

まとめ

代数の体系の定義の根本が狂ってしまうため、1を素数とできなかった。