三角関数の値の等式

［１］の証明
$ \theta=\frac{ \pi }{7} $，$ ｔ＝\tan\theta$とおく．
$$4\sin 2\theta-\tan\theta= \frac{8t}{1+t^2}-t= \frac{7t-t^3}{1+t^2}$$
この式を正の値をとるとして，$ \sqrt{7} $に等しいとするなら，
$$(7t-t^3)^2-7(1+t^2)^2=0$$
$$t^6-14t^4+49t^2-7(t^4+2t^2+1)=0$$
$$t^6-21t^4+35t^2-7=0$$
を示せばいい．
ここで，$z= \cos \theta+i \sin \theta$とおくと，
$$z^7=-1$$
$$(\cos \theta+i \sin \theta)^7=-1$$
$$(\cos \theta)^{7}(1+i \tan \theta)^7=-1$$
$$(1+i \tan \theta)^7=-(\cos \theta)^{-7}$$
$(1+it)^{7}$の虚数部分は0．
$$ {}_7 \mathrm{ C }_7 (it)^7+{}_7 \mathrm{ C }_5 (it)^5+{}_7 \mathrm{ C }_3 (it)^3+{}_7 \mathrm{ C }_1 (it)=0$$
$$ -i{}_7 \mathrm{ C }_7 t^7+i{}_7 \mathrm{ C }_5 t^5-i{}_7 \mathrm{ C }_3 t^3+i{}_7 \mathrm{ C }_1 t=0$$
$$ -i(t^7-21t^5+35t^3-7t)=0$$
よって，成り立つ．□□
［２］の証明
$ \theta=\frac{ \pi }{11} $，$ ｔ＝\tan\theta$とおく．
$$\tan2\theta= \frac{2\tan\theta}{1-{(\tan\theta)^2}}，\tan3\theta= \frac{\tan2\theta+\tan\theta}{1-{\tan2\theta}{\tan\theta}}$$
$$\tan3\theta= \frac{\frac{2\tan\theta}{1-{(\tan\theta)^2}}+\tan\theta}{1-{\frac{2\tan\theta}{1-{(\tan\theta)^2}}}{\tan\theta}}= \frac{t^3-3t}{3t^2-1}$$
$$4\sin 2\theta+\tan3\theta= \frac{8t}{1+t^2}+\frac{t^3-3t}{3t^2-1}$$
$$4\sin 2\theta+\tan3\theta= \frac{8t(3t^2-1)+(t^3-3t)(t^2+1)}{(t^2+1)(3t^2-1)}$$
$$4\sin 2\theta+\tan3\theta= \frac{t^5+22t^3-11t}{3t^4+2t^2-1}$$
この式を正の値をとるとして，$ \sqrt{11} $に等しいとするなら，
$$(t^5+22t^3-11t)^2-11(3t^4+2t^2-1)^2=0$$
$$t^{10}-55t^8+330t^6-462t^4+165t^2-11=0$$
を示せばいい．
ここで，$z= \cos \theta+i \sin \theta$とおくと，
$$z^{11}=-1$$
$$(\cos \theta+i \sin \theta)^{11}=-1$$
$$(1+i \tan \theta)^{11}=-(\cos \theta)^{-11}$$
$(1+it)^{11}$の虚数部分は0．
$$ {}_{11} \mathrm{ C }_{11} (it)^{11}+{}_{11} \mathrm{ C }_{9} (it)^{9}+{}_{11} \mathrm{ C }_{7} (it)^{7}+{}_{11} \mathrm{ C }_{5} (it)^{5}+{}_{11} \mathrm{ C }_{3} (it)^{3}+{}_{11} \mathrm{ C }_{1} (it)^{1}=0$$
$$ -i(t^{11}-55t^9+330t^7-465t^5+165t^3-11t)=0$$
よって，成り立つ．□□
一般的な事実としては何か出てくるのでしょうか？