約数に関する研究4
オイラー関数を次のように拡張する．
$$ \varphi_x(n)=\sum_{c\perp n,c\leq n} c^x $$
従来のオイラー関数$\varphi(n)$は$\varphi_0(n)$に一致する．なお，ここでの記号$\perp$は「互いに素」を意味する．
いつものように$\sigma_x$は約数関数を表す．
$$ 1+\sum_{c \perp n,c\leq n}\sigma_0(c)\geq 2\varphi(n) $$
Toyo 氏による証明がとても綺麗だったのでそちらを載せることにする．
\begin{align} 1 +\sum_{c\perp n,c\leq n}\sigma_0(c)&=2 +\sum_{c\perp n,2\leq c\leq n}\sigma_0(c) \\ &\geq 2 +\sum_{c\perp n,2\leq c\leq n} 2 \\ &=2 +2(\varphi(n) -1) \\ &=2\varphi(n) \end{align}
$$ 1+\sum_{c\perp n,c\leq n}\sigma_x(c)\geq \varphi_0(n)+\varphi_x(n) $$
命題2と同様に証明する．
\begin{align}
1 +\sum_{c\perp n,c\leq n}\sigma_x(c)&=2 +\sum_{c\perp n,2\leq c\leq n}\sigma_x(c) \\
&\geq 2 +\sum_{c\perp n,2\leq c\leq n} c^x +1 \\
&=2 +\varphi_0(n) +\varphi_x(n) -2 \\
&=\varphi_0(n) +\varphi_x(n)
\end{align}
拡張したオイラー関数は先行研究がいくつか存在するらしく，私が確認したものでは飯高茂先生の著書「数学の研究をはじめようⅤ オイラーをモデルに数論研究」(現代数学社出版)で$x=1,2,3$の場合の値について言及されている．