高校数学解説

約数に関する研究4

約数関数

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オイラー関数を次のように拡張する．

拡張したオイラー関数

$φ_{x} (n) = \sum_{c ⊥ n, c \leq n} c^{x}$

従来のオイラー関数 $φ (n)$ は $φ_{0} (n)$ に一致する．なお，ここでの記号 $⊥$ は「互いに素」を意味する．

いつものように $σ_{x}$ は約数関数を表す．

$1 + \sum_{c ⊥ n, c \leq n} σ_{0} (c) \geq 2 φ (n)$

Toyo 氏による証明がとても綺麗だったのでそちらを載せることにする．

$\begin{aligned} 1 + \sum_{c ⊥ n, c \leq n} σ_{0} (c) & = 2 + \sum_{c ⊥ n, 2 \leq c \leq n} σ_{0} (c) \\ \geq 2 + \sum_{c ⊥ n, 2 \leq c \leq n} 2 \\ = 2 + 2 (φ (n) - 1) \\ = 2 φ (n) \end{aligned}$

$1 + \sum_{c ⊥ n, c \leq n} σ_{x} (c) \geq φ_{0} (n) + φ_{x} (n)$

命題2と同様に証明する．
$\begin{aligned} 1 + \sum_{c ⊥ n, c \leq n} σ_{x} (c) & = 2 + \sum_{c ⊥ n, 2 \leq c \leq n} σ_{x} (c) \\ \geq 2 + \sum_{c ⊥ n, 2 \leq c \leq n} c^{x} + 1 \\ = 2 + φ_{0} (n) + φ_{x} (n) - 2 \\ = φ_{0} (n) + φ_{x} (n) \end{aligned}$

拡張したオイラー関数は先行研究がいくつか存在するらしく，私が確認したものでは飯高茂先生の著書「数学の研究をはじめようⅤ オイラーをモデルに数論研究」(現代数学社出版)で $x = 1, 2, 3$ の場合の値について言及されている．

投稿日：2023年10月19日

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約数関数、数列関係の記事を中心に書いていきます。記事の内容に間違いがあれば教えてくれるとありがたいです。

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