因数分解の定石

460

今回は、大学受験でよく見る因数分解をまとめてみました。

定石

因数分解の公式
高次多項式の因数分解
- 複二次式
  - 次数下げ
  - 和と差の積の因数分解
- その他
  - 有利根定理
  - カタマリを文字で置いて次数下げ
その他の多項式
- 交代式の因数分解
- 最低次数でまとめる

因数分解の公式

$n$ は自然数とする。
(1) $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}$
(2) $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
(3) $a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3} = (a \pm b)^{3}$
(4) $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a)$
(5) $a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + b^{n - 1}) (n \geq 2)$
(6) $\sum_{k = 1}^{n}_{n} C_{k} a^{n - k} b^{k} = (a + b)^{n}$

忘れがちな因数分解の公式

以下の各式を因数分解しなさい。
(1) $x^{3} + 8 y^{3} + 1 - 6 x y$
(2) $\sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k}$

(1)
$\begin{aligned} x^{3} + 8 y^{3} + 1 - 6 x y & = x^{3} + (2 y)^{3} + 1^{3} - 3 \cdot x \cdot 2 y \cdot 1 \\ = (x + 2 y + 1) (x^{2} + 4 y^{2} - 2 x y - x - y + 1) . \end{aligned}$

(2)
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} & = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} 1^{n - k} \cdot 1^{k} \\ = (1 + 1)^{n} \\ = 2^{n} . \end{aligned}$

高次多項式

以下の各式を因数分解しなさい。
(1) $x^{4} - 13 x^{2} + 36$
(2) $x^{4} + 4$
(3) $x^{3} - 3 x - 2$
(4) $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) + 1$

指針

高次多項式

定義多項式 $P$ の最高次の次数が3次以上のとき、 $P$ を高次多項式という。以下、多項式 $P$ の最高次の次数を $\deg P$ と表記する。

複二次式

定義多項式 $P$ の任意の奇数次の係数が0であるとき、 $P$ を複二次式という。

因数定理

$P$ を複素係数の多項式、 $α$ を複素数とする。
以下は同値である。

$P$ が $α$ を根に持つ
$P$ が $x - α$ で割り切れる

補足　どの次数の係数も複素数のとき、その多項式を複素多項式という。
多項式に代入して $0$ にするものをその多項式の根という。

有利根定理

$p, q (p \neq 0)$ を整数とし、 $p, q$ は互いに素であるとする。また、 $P$ の最高次の係数を $a_{n},$ $P$ の定数項を $a_{0}$ とする。このとき $P$ が $\frac{q}{p}$ を根にもつ、つまり $P (\frac{q}{p}) = 0$ ならば
$\frac{q}{p} = \pm \frac{a_{0} の約数}{a_{n} の約数}$
である。
補足有利根定理という、名前が正式なものかどうかは知らないが、便利なので使います。証明はいつかやろうかな。

高次多項式はまず複二次式かそうでないかの確認をしましょう。複二次式

次数下げ
和と差の積の因数分解
その他の場合は、基本的に有利根定理です。ときたまカタマリを文字で置いて次数下げもありますが...

解答
(1) $t = x^{2}$ とおくと
$\begin{aligned} x^{4} - 13 x^{2} + 36 & = t^{2} - 13 t + 36 \\ = (t - 4) (t - 9) \\ = (x^{2} - 4) (x^{2} - 9) \\ = (x - 3) (x - 2) (x + 2) (x + 3) . \end{aligned}$

(2)
$\begin{aligned} x^{4} + 4 & = (x^{2} + 2)^{2} - 4 x^{2} \\ = (x^{2} + 2)^{2} - (2 x)^{2} \\ = (x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 2) . \end{aligned}$

(3)
$\begin{aligned} x^{3} - 3 x - 2 & = (x + 1) (x^{2} - x - 2) \\ = (x + 1)^{2} (x - 2) . \end{aligned}$

(4)
$\begin{aligned} (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) + 1 & = (x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) + 1 \\ = {(x^{2} + 5 x) + 4} {(x^{2} + 5 x) + 6} + 1 \\ = (x^{2} + 5 x)^{2} + 10 (x^{2} + 5 x) + 25 \\ = (x^{2} + 5 x + 5)^{2} . \end{aligned}$

その他の多項式

以下の各式を因数分解しなさい。
(1) $a^{3} + a^{2} b - a c^{2} - b c^{2}$
(2) $a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b)$

指針
公式も使えない、多項式は

次数の低い文字をまとめる
交代式の因数分解
の2択です。
(1)は次数の低い $b$ についてまとめましょう。(2)は以下の知識をフル活用します。 $a$ と $b$ の交代式であり、与式は $b$ と $c$ の交代式であり、 $c$ と $a$ の交代式であるので、 $(a - b) (b - c) (c - a)$ を持ちます。あとは、たとえば $a$ に着目して次数と係数が合うような交代式を求めましょう。

対称式

$f (x, y) = f (y, x)$ を満たす $x$ と $y$ の多項式 $f (x, y)$ を $x$ と $y$ の対称式という。

交代式

$f (x, y) = - f (y, x)$ を満たす $x$ と $y$ の多項式 $f (x, y)$ を $x$ と $y$ の交代式という

交代式の有名な定理

$f (x, y)$ が $x$ と $y$ の交代式のとき
$f (x, y) = (x - y) (x と y の対称式)$

解答
(1)
$\begin{aligned} a^{3} + a^{2} b - a c^{2} - b c^{2} & = a^{3} - a c^{2} + b (a^{2} - c^{2}) \\ = a (a + c) (a - c) + b (a + c) (a - c) \\ = (a + b) (a + c) (a - c) . \end{aligned}$

(2)
$\begin{aligned} a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b) & = (a - b) (b - c) (c - a) \cdot (- 1) \\ = - (a - b) (b - c) (c - a) . \end{aligned}$

投稿日：2023年6月17日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

fancy

6692

自分の勉強用に投稿するのでn番煎じのものが多いよ

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

fancy

因数分解の定石