多重ゼータ関数の和公式
まず, Ohnoの関係式の複素補間として, 以下の結果が知られている.
許容インデックス$\bk$に対して,
\begin{align}
I_{\bk}(s):=\sum_{i=1}^r\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac 1{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac 1{n_i^s}\prod_{j\neq i}\frac {n_j}{n_j-n_i}
\end{align}
とするとき, $I_{\bk}(s)=I_{\bk^{\dagger}}(s)$が成り立つ.
これの証明に関しては, たけのこ赤軍による記事, 複素変数大野関係式 でも解説されている. 今回はこれを用いて多重ゼータ関数の和公式を得たいと思う. それは次のような形になる.
\begin{align} &\sum_{i=1}^{r-1}(-1)^{i-1}\sum_{0\leq k_1,\dots,k_{r-1}}\zeta\left(-k_1,-k_2,\dots,-k_{i-1},s-r+i-1+\sum_{j=1}^{i-1}k_j-\sum_{j=i}^{r-1}k_j,k_{i}+1,\dots,k_{r-2}+1,k_{r-1}+2\right)\\ &\qquad+(-1)^{r-1}\sum_{0\leq k_1,\dots,k_{r-1}}\zeta(-k_1,\dots,-k_{r-1},s+k_1+\cdots+k_{r-1})=\zeta(s) \end{align}
定理1において, $\bk=(\{1\}^{r-1},2)$とすると,
\begin{align}
\sum_{i=1}^r\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac 1{n_1\cdots n_{r-1}n_r^2}\frac 1{n_i^s}\prod_{j\neq i}\frac {n_j}{n_j-n_i}&=\zeta(s+r+1)
\end{align}
を得る. $s\mapsto s-r-1$として等比級数を用いて変形すると
\begin{align}
\zeta(s)&=\sum_{i=1}^r\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac 1{n_1\cdots n_{r-1}n_r^2}\frac 1{n_i^{s-r-1}}\left(\prod_{1\leq j< i}\frac {n_j}{n_j-n_i}\right)\left(\prod_{i< j\leq r}\frac {n_j}{n_j-n_i}\right)\\
&=\sum_{i=1}^r(-1)^{i-1}\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac 1{n_i^{s-r+i-1}n_{i+1}\cdots n_r}\frac 1{n_r}\left(\prod_{1\leq j< i}\frac {1}{1-\frac{n_j}{n_i}}\right)\left(\prod_{i< j\leq r}\frac{1}{1-\frac{n_i}{n_j}}\right)\\
&=\sum_{i=1}^r(-1)^{i-1}\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac 1{n_i^{s-r+i-1}n_{i+1}\cdots n_r}\frac 1{n_r}\left(\prod_{1\leq j< i}\sum_{0\leq k_j}\left(\frac{n_j}{n_i}\right)^{k_j}\right)\left(\prod_{i< j\leq r}\sum_{0\leq k_{j-1}}\left(\frac{n_i}{n_j}\right)^{k_{j-1}}\right)\\
&=\sum_{i=1}^{r-1}(-1)^{i-1}\sum_{0\leq k_1,\dots,k_{r-1}}\zeta\left(-k_1,-k_2,\dots,-k_{i-1},s-r+i-1+\sum_{j=1}^{i-1}k_j-\sum_{j=i}^{r-1}k_j,k_{i}+1,\dots,k_{r-2}+1,k_{r-1}+2\right)\\
&\qquad+(-1)^{r-1}\sum_{0\leq k_1,\dots,k_{r-1}}\zeta(-k_1,\dots,-k_{r-1},s+k_1+\cdots+k_{r-1})
\end{align}
となって示される.
$r=2$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq k}(\zeta(s-k-2,k+2)-\zeta(-k,s+k))=\zeta(s)
\end{align}
を得る. これはHirose-Murahara-Onozukaによる2024年の論文, Sum formula for multiple zeta functionで示された式である. (これは出版版の年数であり, arXivは上の定理1の論文より前に公開されている.)
定理2において, $r=3$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq k_1,k_2}(\zeta(s-k_1-k_2-3,k_1+1,k_2+2)-\zeta(-k_1,s+k_1-k_2-2,k_2+2)+\zeta(-k_1,-k_2,s+k_1+k_2))=\zeta(s)
\end{align}
となる. Hirose-Murahara-Onozukaによる多重ゼータ関数の和公式の論文においても一般の深さでの多重ゼータ関数の和公式が与えられており, 深さ3の場合は
\begin{align}
&\sum_{0\leq k_1,k_2}(\zeta(s-k_1-3,k_1-k_2+1,k_2+2)-\zeta(s-k_1-3,-k_2,k_1+k_2+3))\\
&\qquad-\sum_{0\leq k_1,k_2}(\zeta(-k_1,s+k_1-k_2-2,k_2+2)-\zeta(-k_1,-k_2,s+k_1+k_2))=\zeta(s)
\end{align}
となっている. 先ほどの式とは1つ目の項の見た目が異なっているが,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k_1,k_2}(\zeta(s-k_1-3,k_1-k_2+1,k_2+2)-\zeta(s-k_1-3,-k_2,k_1+k_2+3))\\
&=\sum_{0\leq k_1,k_2}\zeta(s-k_1-3,k_1-k_2+1,k_2+2)-\sum_{0\leq k_1< k_2}\zeta(s-k_1-3,k_1-k_2+1,k_2+2)\\
&=\sum_{0\leq k_2\leq k_1}\zeta(s-k_1-3,k_1-k_2+1,k_2+2)\\
&=\sum_{0\leq k_1,k_2}\zeta(s-k_1-k_2-3,k_1+1,k_2+2)
\end{align}
と変形することができ, ある意味で同値な式と言える. 定理2の左辺には多重ゼータ関数の無限和が現れるので, 級数としては収束しない範囲まで$s$を解析接続するためにはより解析的な議論が必要であると考えられる.
