なぜ二等辺三角形の底辺と、頂角の二等分線は垂直に交わるのか

$\LARGE{三角形の内角の和}$は$\LARGE{180°}$なので、

$\LARGE{∠CAB+∠ABC+∠BCA＝180°}$

です。
また、$\LARGE{⊿ABC}$は$\LARGE{二等辺三角形}$であり、$\LARGE{AB＝CA}$なので$\LARGE{∠CAB}$が$\LARGE{頂角}$に当たり、$\LARGE{∠ABC}$と$\LARGE{∠BCA}$が底角に当たります。底角の関係にある角の大きさは等しいので、

$\LARGE{∠ABC＝∠BCA}$

です。

次に、$\LARGE{∠CAB}$の$\LARGE{二等分線}$を$\LARGE{BCとの交点}$まで引きます。$\LARGE{BCとの交点}$を$\LARGE{D}$とします(図2)。

$\LARGE{AD}$は$\LARGE{∠CAB}$の$\LARGE{二等分線}$であり、$\LARGE{二等分}$するということは$\LARGE{2つの同じ大きさに分ける}$ということです。
そのため、

$\LARGE{∠CAB÷2＝∠CAD}$

$\LARGE{＝∠DAB}$

です。
また、
$\LARGE{180°＝∠CAB+∠ABC+∠BCA}$

$\LARGE{＝(∠CAD+∠DAB)+∠ABC×2}$

$\LARGE{＝∠DAB×2+∠ABC×2}$

$\LARGE{＝(∠DAB+∠ABC)×2}$

であり、

$\LARGE{180°÷2＝90°}$

$\LARGE{＝∠DAB+∠ABC}$

です。
$\LARGE{⊿CAD}$は$\LARGE{∠ADC、∠DCA、∠CAD}$で、$\LARGE{⊿DAB}$は$\LARGE{∠BDA、∠DAB、∠ABD}$でそれぞれ構成されています。
そのため、

$\LARGE{∠BDA＝180°-(∠DAB+∠ABC)}$

$\LARGE{＝180°-90°}$

$\LARGE{＝90°}$

$\LARGE{＝∠ADC}$

となります。