超幾何項を用いたシンプルな公式の導出
あいさつ
んちゃ！
今回は超幾何項の性質を用いてシンプルな公式を導きます。
こん会の記事で紹介する方法は容易に一般化できると思うのでぜひ挑戦してみてください。
超幾何項の性質
数列$\forall\{c_{n}\}\subset\mathbb{K}$が超幾何項であるとは下記の性質を持つ数列の事を指す。$\exists r_{n}\in\mathbb{K}(n)\ s.t.\ \frac{c_{n+1}}{c_{n}}=r_{n}$
$\{c_{n}\},\{d_{n}\}\subset\mathbb{K}$が超幾何項であるとすると
- $\forall A,B\in\mathbb{N}\cup\{0\}:\{c_{An+B}\}\subset\mathbb{K}(n)$は超幾何項
- $\{c_{n}d_{n}\}\subset\mathbb{K}(n)$は超幾何項
[1]定義より
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\exists r_{n}\in\mathbb{K}(n)\ s.t.\ \frac{c_{n+1}}{c_{n}}=r_{n}\\
\exists s_{n}\in\mathbb{K}(n)\ s.t.\ \frac{d_{n+1}}{d_{n}}=s_{n}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
が成り立つので
\begin{eqnarray}
\frac{c_{A(n+1)+B}}{c_{An+B}}&=&\frac{c_{An+A+B}}{c_{An+A+B-1}}\frac{c_{An+A+B-2}}{c_{An+A+B-2}}\cdots\frac{c_{An+B+1}}{c_{An+B}}\\
&=&\prod_{k=1}^{A}\frac{c_{An+B+k}}{c_{An+B+k-1}}\\
&=&\prod_{k=1}^{A}r_{An+B+k-1}\in\mathbb{K}(n)
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\frac{c_{n+1}d_{n+1}}{c_{n}d_{n}}&=&\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\frac{d_{n+1}}{d_{n}}\\
&=&r_{n}s_{n}\in\mathbb{K}(n)
\end{eqnarray}
超幾何項$\{c_{n}\},\{d_{n}\}\subset\mathbb{K}$が次の性質を持つとき相似といい、$\{c_{n}\}\sim\{d_{n}\}$と書く。
\begin{equation}
\exists R_{n}\in\mathbb{K}(n)\ s.t.\ \frac{d_{n}}{c_{n}}=R_{n}
\end{equation}
超幾何項$\{c_{n}\},\{d_{n}\}\subset\mathbb{K}$が相似であるとする。するとその一次結合は超幾何項
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\exists r_{n}\in\mathbb{K}(n)\ s.t.\ \frac{c_{n+1}}{c_{n}}=r_{n}\\
\exists s_{n}\in\mathbb{K}(n)\ s.t.\ \frac{d_{n+1}}{d_{n}}=s_{n}\\
\exists t_{n}\in\mathbb{K}(n)\ s.t.\ \frac{d_{n}}{c_{n}}=t_{n}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
より、任意の$A,B\in\mathbb{K}$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\frac{Ac_{n+1}+Bd_{n+1}}{Ac_{n}+Bd_{n}}&=&\frac{A\frac{c_{n+1}}{c_{n}}+B\frac{d_{n}}{c_{n}}\frac{d_{n+1}}{d_{n}}}{A+B\frac{d_{n}}{c_{n}}}\\
&=&\frac{Ar_{n}+Bs_{n}t_{n}}{A+s_{n}}\in\mathbb{K}(n)
\end{eqnarray}
応用
$k\in\mathbb{N}$とする。そして、次の様な超幾何項を定める。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
c_{n}=\frac{(A_{1})_{n}\cdots (A_{s})_{n}}{(B_{1})_{n}\cdots (B_{t})_{n}}\\
d_{n}=\frac{(A_{1}+k)_{n}\cdots (A_{s}+k)_{n}}{(B_{1}+k)_{n}\cdots (B_{v}+k)_{n}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
すると$k\leq n$にて$c_{n},d_{n}$は相似
\begin{eqnarray}
\frac{d_{n}}{c_{n}}&=&\frac{(A_{1}+n)\cdots(A_{1}+k+n-1)\cdots (A_{s}+n)\cdots (A_{s}+k+n-1)B_{1}\cdots (B_{1}+k-1)\cdots B_{t}\cdots (B_{t}+k+n-1)}{A_{1}\cdots(A_{1}+k-1)\cdots A_{s}\cdots (A_{s}+k-1)(B_{1}+n)\cdots (B_{1}+k+n-1)\cdots (B_{t}+n)\cdots (B_{t}+k+n-1)}\
\end{eqnarray}
分子は$n$の$ks$次多項式、分母は$n$の$kt$次多項式
$a,b,c\in\mathbb{C},|z|\lt 1$に対して以下の様な級数を定める。
\begin{equation}
{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}n!}z^{n}
\end{equation}
\begin{equation}
A{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+B{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)=A+B+\frac{ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)B}{c(c+1)}z{}_{5}F_{4}(\lambda_{-}+1,\lambda_{+}+1,a+1,b+1,1;\mu_{-},\mu_{+},c+2,2;z)
\end{equation}
ただし、$-\lambda_{\pm},-\mu_{\pm}$は以下の二次方程式の解
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
cBx^{2}+\{abA+c(a+b+2)B\}x+ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)B=0\\
cBx^{2}+\{abA+c(a+b)B\}x+abc(A+B)=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[1]
\begin{eqnarray}
\frac{\frac{(a+1)_{n}(b+1)_{n}}{(c+1)_{n}n!}}{\frac{(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}n!}}&=&\frac{c(n+a)(n+b)}{ab(n+c)}\in\mathbb{K}(n)
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\frac{A\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_{n+1}(n+1)!}+B\frac{(a+1)_{n+1}(b+1)_{n+1}}{(c+1)_{n+1}(n+1)!}}{A\frac{(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}n!}+B\frac{(a+1)_{n}(b+1)_{n}}{(c+1)_{n}n!}}&=&\frac{A\frac{(n+a)(n+b)}{(n+c)(n+1)}+B\frac{c(n+a)(n+b)}{ab(n+c)}\frac{(n+a+1)(n+b+1)}{(n+c+1)(n+1)}}{A+B\frac{c(n+a)(n+b)}{ab(n+c)}}\\
&=&\frac{abA(n+c+1)+cB(n+a+1)(n+b+1)}{ab(n+c)A+cB(n+a)(n+b)}\frac{(n+a)(n+b)}{(n+c+1)(n+1)}\\
&=&\frac{cBn^{2}+\{abA+c(a+b+2)B\}n+ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)B}{cBn^{2}+\{abA+c(a+b)B\}n+abc(A+B)}\frac{(n+a)(n+b)}{(n+c+1)(n+1)}
\end{eqnarray}
[3]以下の二次方程式の解を求める。そしてそれらを$-\lambda_{\pm},-\mu_{\pm}$とする。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
cBx^{2}+\{abA+c(a+b+2)B\}x+ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)B=0\\
cBx^{2}+\{abA+c(a+b)B\}x+abc(A+B)=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[4]
\begin{eqnarray}
A\frac{(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}n!}+B\frac{(a+1)_{n}(b+1)_{n}}{(c+1)_{n}n!}&=&\frac{(n+\lambda_{-}-1)(n+\lambda_{+}-1)(n+a-1)(n+b-1)}{(n+\mu_{-}-1)(n+\mu_{+}-1)(n+c)n}\{A\frac{(a)_{n-1}(b)_{n-1}}{(c)_{n-1}(n-1)!}+B\frac{(a+1)_{n-1}(b+1)_{n-1}}{(c+1)_{n-1}(n-1)!}\}\\
&=&\{\frac{ab}{c}A+\frac{(a+1)(b+1)}{c+1}B\}\frac{(\lambda_{-}+1)_{n-1}(\lambda_{+}+1)_{n-1}(a+1)_{n-1}(b+1)_{n-1}}{(\mu_{-}+1)_{n-1}(\mu_{+}+1)_{n-1}(c+2)_{n-1}n!}\\
&=&\frac{ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)B}{c(c+1)}\frac{(\lambda_{-}+1)_{n-1}(\lambda_{+}+1)_{n-1}(a+1)_{n-1}(b+1)_{n-1}}{(\mu_{-}+1)_{n-1}(\mu_{+}+1)_{n-1}(c+2)_{n-1}n!}\quad(1\leq n)
\end{eqnarray}
[5]
\begin{equation}
A{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+B{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)=A+B+\frac{ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)B}{c(c+1)}z{}_{5}F_{4}(\lambda_{-}+1,\lambda_{+}+1,a+1,b+1,1;\mu_{-},\mu_{+},c+2,2;z)
\end{equation}
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