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超幾何項を用いたシンプルな公式の導出

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あいさつ

んちゃ!
今回は超幾何項の性質を用いてシンプルな公式を導きます。
こん会の記事で紹介する方法は容易に一般化できると思うのでぜひ挑戦してみてください。

超幾何項の性質

超幾何項

数列{cn}Kが超幾何項であるとは下記の性質を持つ数列の事を指す。rnK(n) s.t. cn+1cn=rn

{cn},{dn}Kが超幾何項であるとすると

  1. A,BN{0}:{cAn+B}K(n)は超幾何項
  2. {cndn}K(n)は超幾何項

[1]定義より
{rnK(n) s.t. cn+1cn=rnsnK(n) s.t. dn+1dn=sn
が成り立つので
cA(n+1)+BcAn+B=cAn+A+BcAn+A+B1cAn+A+B2cAn+A+B2cAn+B+1cAn+B=k=1AcAn+B+kcAn+B+k1=k=1ArAn+B+k1K(n)
[2]
cn+1dn+1cndn=cn+1cndn+1dn=rnsnK(n)

相似

超幾何項{cn},{dn}Kが次の性質を持つとき相似といい、{cn}{dn}と書く。
RnK(n) s.t. dncn=Rn

超幾何項{cn},{dn}Kが相似であるとする。するとその一次結合は超幾何項

{rnK(n) s.t. cn+1cn=rnsnK(n) s.t. dn+1dn=sntnK(n) s.t. dncn=tn
より、任意のA,BKに対して以下の式が成り立つ。
Acn+1+Bdn+1Acn+Bdn=Acn+1cn+Bdncndn+1dnA+Bdncn=Arn+BsntnA+snK(n)

応用

kNとする。そして、次の様な超幾何項を定める。
{cn=(A1)n(As)n(B1)n(Bt)ndn=(A1+k)n(As+k)n(B1+k)n(Bv+k)n
するとknにてcn,dnは相似

dncn=(A1+n)(A1+k+n1)(As+n)(As+k+n1)B1(B1+k1)Bt(Bt+k+n1)A1(A1+k1)As(As+k1)(B1+n)(B1+k+n1)(Bt+n)(Bt+k+n1) 
分子はnks次多項式、分母はnkt次多項式

超幾何級数

a,b,cC,|z|<1に対して以下の様な級数を定める。
2F1(a,b;c;z)=0n(a)n(b)n(c)nn!zn

A2F1(a,b;c;z)+B2F1(a+1,b+1;c+1;z)=A+B+ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)Bc(c+1)z5F4(λ+1,λ++1,a+1,b+1,1;μ,μ+,c+2,2;z)
ただし、λ±,μ±は以下の二次方程式の解
{cBx2+{abA+c(a+b+2)B}x+ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)B=0cBx2+{abA+c(a+b)B}x+abc(A+B)=0

[1]
(a+1)n(b+1)n(c+1)nn!(a)n(b)n(c)nn!=c(n+a)(n+b)ab(n+c)K(n)
[2]
A(a)n+1(b)n+1(c)n+1(n+1)!+B(a+1)n+1(b+1)n+1(c+1)n+1(n+1)!A(a)n(b)n(c)nn!+B(a+1)n(b+1)n(c+1)nn!=A(n+a)(n+b)(n+c)(n+1)+Bc(n+a)(n+b)ab(n+c)(n+a+1)(n+b+1)(n+c+1)(n+1)A+Bc(n+a)(n+b)ab(n+c)=abA(n+c+1)+cB(n+a+1)(n+b+1)ab(n+c)A+cB(n+a)(n+b)(n+a)(n+b)(n+c+1)(n+1)=cBn2+{abA+c(a+b+2)B}n+ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)BcBn2+{abA+c(a+b)B}n+abc(A+B)(n+a)(n+b)(n+c+1)(n+1)
[3]以下の二次方程式の解を求める。そしてそれらをλ±,μ±とする。
{cBx2+{abA+c(a+b+2)B}x+ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)B=0cBx2+{abA+c(a+b)B}x+abc(A+B)=0
[4]
A(a)n(b)n(c)nn!+B(a+1)n(b+1)n(c+1)nn!=(n+λ1)(n+λ+1)(n+a1)(n+b1)(n+μ1)(n+μ+1)(n+c)n{A(a)n1(b)n1(c)n1(n1)!+B(a+1)n1(b+1)n1(c+1)n1(n1)!}={abcA+(a+1)(b+1)c+1B}(λ+1)n1(λ++1)n1(a+1)n1(b+1)n1(μ+1)n1(μ++1)n1(c+2)n1n!=ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)Bc(c+1)(λ+1)n1(λ++1)n1(a+1)n1(b+1)n1(μ+1)n1(μ++1)n1(c+2)n1n!(1n)
[5]
A2F1(a,b;c;z)+B2F1(a+1,b+1;c+1;z)=A+B+ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)Bc(c+1)z5F4(λ+1,λ++1,a+1,b+1,1;μ,μ+,c+2,2;z)

投稿日:34
更新日:34
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