んちゃ!今回は超幾何項の性質を用いてシンプルな公式を導きます。こん会の記事で紹介する方法は容易に一般化できると思うのでぜひ挑戦してみてください。
数列∀{cn}⊂Kが超幾何項であるとは下記の性質を持つ数列の事を指す。∃rn∈K(n) s.t. cn+1cn=rn
{cn},{dn}⊂Kが超幾何項であるとすると
[1]定義より{∃rn∈K(n) s.t. cn+1cn=rn∃sn∈K(n) s.t. dn+1dn=snが成り立つのでcA(n+1)+BcAn+B=cAn+A+BcAn+A+B−1cAn+A+B−2cAn+A+B−2⋯cAn+B+1cAn+B=∏k=1AcAn+B+kcAn+B+k−1=∏k=1ArAn+B+k−1∈K(n)[2]cn+1dn+1cndn=cn+1cndn+1dn=rnsn∈K(n)
超幾何項{cn},{dn}⊂Kが次の性質を持つとき相似といい、{cn}∼{dn}と書く。∃Rn∈K(n) s.t. dncn=Rn
超幾何項{cn},{dn}⊂Kが相似であるとする。するとその一次結合は超幾何項
{∃rn∈K(n) s.t. cn+1cn=rn∃sn∈K(n) s.t. dn+1dn=sn∃tn∈K(n) s.t. dncn=tnより、任意のA,B∈Kに対して以下の式が成り立つ。Acn+1+Bdn+1Acn+Bdn=Acn+1cn+Bdncndn+1dnA+Bdncn=Arn+BsntnA+sn∈K(n)
k∈Nとする。そして、次の様な超幾何項を定める。{cn=(A1)n⋯(As)n(B1)n⋯(Bt)ndn=(A1+k)n⋯(As+k)n(B1+k)n⋯(Bv+k)nするとk≤nにてcn,dnは相似
dncn=(A1+n)⋯(A1+k+n−1)⋯(As+n)⋯(As+k+n−1)B1⋯(B1+k−1)⋯Bt⋯(Bt+k+n−1)A1⋯(A1+k−1)⋯As⋯(As+k−1)(B1+n)⋯(B1+k+n−1)⋯(Bt+n)⋯(Bt+k+n−1) 分子はnのks次多項式、分母はnのkt次多項式
a,b,c∈C,|z|<1に対して以下の様な級数を定める。2F1(a,b;c;z)=∑0≤n(a)n(b)n(c)nn!zn
A2F1(a,b;c;z)+B2F1(a+1,b+1;c+1;z)=A+B+ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)Bc(c+1)z5F4(λ−+1,λ++1,a+1,b+1,1;μ−,μ+,c+2,2;z)ただし、−λ±,−μ±は以下の二次方程式の解{cBx2+{abA+c(a+b+2)B}x+ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)B=0cBx2+{abA+c(a+b)B}x+abc(A+B)=0
[1](a+1)n(b+1)n(c+1)nn!(a)n(b)n(c)nn!=c(n+a)(n+b)ab(n+c)∈K(n)[2]A(a)n+1(b)n+1(c)n+1(n+1)!+B(a+1)n+1(b+1)n+1(c+1)n+1(n+1)!A(a)n(b)n(c)nn!+B(a+1)n(b+1)n(c+1)nn!=A(n+a)(n+b)(n+c)(n+1)+Bc(n+a)(n+b)ab(n+c)(n+a+1)(n+b+1)(n+c+1)(n+1)A+Bc(n+a)(n+b)ab(n+c)=abA(n+c+1)+cB(n+a+1)(n+b+1)ab(n+c)A+cB(n+a)(n+b)(n+a)(n+b)(n+c+1)(n+1)=cBn2+{abA+c(a+b+2)B}n+ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)BcBn2+{abA+c(a+b)B}n+abc(A+B)(n+a)(n+b)(n+c+1)(n+1)[3]以下の二次方程式の解を求める。そしてそれらを−λ±,−μ±とする。{cBx2+{abA+c(a+b+2)B}x+ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)B=0cBx2+{abA+c(a+b)B}x+abc(A+B)=0[4]A(a)n(b)n(c)nn!+B(a+1)n(b+1)n(c+1)nn!=(n+λ−−1)(n+λ+−1)(n+a−1)(n+b−1)(n+μ−−1)(n+μ+−1)(n+c)n{A(a)n−1(b)n−1(c)n−1(n−1)!+B(a+1)n−1(b+1)n−1(c+1)n−1(n−1)!}={abcA+(a+1)(b+1)c+1B}(λ−+1)n−1(λ++1)n−1(a+1)n−1(b+1)n−1(μ−+1)n−1(μ++1)n−1(c+2)n−1n!=ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)Bc(c+1)(λ−+1)n−1(λ++1)n−1(a+1)n−1(b+1)n−1(μ−+1)n−1(μ++1)n−1(c+2)n−1n!(1≤n)[5]A2F1(a,b;c;z)+B2F1(a+1,b+1;c+1;z)=A+B+ab(c+1)A+c(a+1)(b+1)Bc(c+1)z5F4(λ−+1,λ++1,a+1,b+1,1;μ−,μ+,c+2,2;z)
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