超幾何項を用いたシンプルな公式の導出

あいさつ

んちゃ！
今回は超幾何項の性質を用いてシンプルな公式を導きます。
こん会の記事で紹介する方法は容易に一般化できると思うのでぜひ挑戦してみてください。

超幾何項の性質

超幾何項

数列 $\forall {c_{n}} \subset K$ が超幾何項であるとは下記の性質を持つ数列の事を指す。 $\exists r_{n} \in K (n) s . t . \frac{c_{n + 1}}{c_{n}} = r_{n}$

${c_{n}}, {d_{n}} \subset K$ が超幾何項であるとすると

$\forall A, B \in N \cup {0} : {c_{A n + B}} \subset K (n)$ は超幾何項
${c_{n} d_{n}} \subset K (n)$ は超幾何項

[1]定義より
$\begin{array}{r} {\begin{cases} \exists r_{n} \in K (n) s . t . \frac{c_{n + 1}}{c_{n}} = r_{n} \\ \exists s_{n} \in K (n) s . t . \frac{d_{n + 1}}{d_{n}} = s_{n} \end{cases} \end{array}$
が成り立つので
$\begin{array}{rcl} \frac{c_{A (n + 1) + B}}{c_{A n + B}} & = & \frac{c_{A n + A + B}}{c_{A n + A + B - 1}} \frac{c_{A n + A + B - 2}}{c_{A n + A + B - 2}} \dots \frac{c_{A n + B + 1}}{c_{A n + B}} \\ = & \prod_{k = 1}^{A} \frac{c_{A n + B + k}}{c_{A n + B + k - 1}} \\ = & \prod_{k = 1}^{A} r_{A n + B + k - 1} \in K (n) \end{array}$
[2]
$\begin{array}{rcl} \frac{c_{n + 1} d_{n + 1}}{c_{n} d_{n}} & = & \frac{c_{n + 1}}{c_{n}} \frac{d_{n + 1}}{d_{n}} \\ = & r_{n} s_{n} \in K (n) \end{array}$

相似

超幾何項 ${c_{n}}, {d_{n}} \subset K$ が次の性質を持つとき相似といい、 ${c_{n}} \sim {d_{n}}$ と書く。
$\exists R_{n} \in K (n) s . t . \frac{d_{n}}{c_{n}} = R_{n}$

超幾何項 ${c_{n}}, {d_{n}} \subset K$ が相似であるとする。するとその一次結合は超幾何項

$\begin{array}{r} {\begin{cases} \exists r_{n} \in K (n) s . t . \frac{c_{n + 1}}{c_{n}} = r_{n} \\ \exists s_{n} \in K (n) s . t . \frac{d_{n + 1}}{d_{n}} = s_{n} \\ \exists t_{n} \in K (n) s . t . \frac{d_{n}}{c_{n}} = t_{n} \end{cases} \end{array}$
より、任意の $A, B \in K$ に対して以下の式が成り立つ。
$\begin{array}{rcl} \frac{A c_{n + 1} + B d_{n + 1}}{A c_{n} + B d_{n}} & = & \frac{A \frac{c_{n + 1}}{c_{n}} + B \frac{d_{n}}{c_{n}} \frac{d_{n + 1}}{d_{n}}}{A + B \frac{d_{n}}{c_{n}}} \\ = & \frac{A r_{n} + B s_{n} t_{n}}{A + s_{n}} \in K (n) \end{array}$

応用

$k \in N$ とする。そして、次の様な超幾何項を定める。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} c_{n} = \frac{(A_{1})_{n} \dots (A_{s})_{n}}{(B_{1})_{n} \dots (B_{t})_{n}} \\ d_{n} = \frac{(A_{1} + k)_{n} \dots (A_{s} + k)_{n}}{(B_{1} + k)_{n} \dots (B_{v} + k)_{n}} \end{cases} \end{array}$
すると $k \leq n$ にて $c_{n}, d_{n}$ は相似

$\begin{array}{rcl} \frac{d_{n}}{c_{n}} & = & \frac{(A_{1} + n) \dots (A_{1} + k + n - 1) \dots (A_{s} + n) \dots (A_{s} + k + n - 1) B_{1} \dots (B_{1} + k - 1) \dots B_{t} \dots (B_{t} + k + n - 1)}{A_{1} \dots (A_{1} + k - 1) \dots A_{s} \dots (A_{s} + k - 1) (B_{1} + n) \dots (B_{1} + k + n - 1) \dots (B_{t} + n) \dots (B_{t} + k + n - 1)} \end{array}$
分子は $n$ の $k s$ 次多項式、分母は $n$ の $k t$ 次多項式

超幾何級数

$a, b, c \in C, | z | < 1$ に対して以下の様な級数を定める。
$_{2} F_{1} (a, b; c; z) = \sum_{0 \leq n} \frac{(a)_{n} (b)_{n}}{(c)_{n} n!} z^{n}$

$A_{2} F_{1} (a, b; c; z) + B_{2} F_{1} (a + 1, b + 1; c + 1; z) = A + B + \frac{a b (c + 1) A + c (a + 1) (b + 1) B}{c (c + 1)} z_{5} F_{4} (λ_{-} + 1, λ_{+} + 1, a + 1, b + 1, 1; μ_{-}, μ_{+}, c + 2, 2; z)$
ただし、 $- λ_{\pm}, - μ_{\pm}$ は以下の二次方程式の解
$\begin{array}{r} {\begin{cases} c B x^{2} + {a b A + c (a + b + 2) B} x + a b (c + 1) A + c (a + 1) (b + 1) B = 0 \\ c B x^{2} + {a b A + c (a + b) B} x + a b c (A + B) = 0 \end{cases} \end{array}$

[1]
$\begin{array}{rcl} \frac{\frac{(a + 1)_{n} (b + 1)_{n}}{(c + 1)_{n} n!}}{\frac{(a)_{n} (b)_{n}}{(c)_{n} n!}} & = & \frac{c (n + a) (n + b)}{a b (n + c)} \in K (n) \end{array}$
[2]
$\begin{array}{rcl} \frac{A \frac{(a)_{n + 1} (b)_{n + 1}}{(c)_{n + 1} (n + 1)!} + B \frac{(a + 1)_{n + 1} (b + 1)_{n + 1}}{(c + 1)_{n + 1} (n + 1)!}}{A \frac{(a)_{n} (b)_{n}}{(c)_{n} n!} + B \frac{(a + 1)_{n} (b + 1)_{n}}{(c + 1)_{n} n!}} & = & \frac{A \frac{(n + a) (n + b)}{(n + c) (n + 1)} + B \frac{c (n + a) (n + b)}{a b (n + c)} \frac{(n + a + 1) (n + b + 1)}{(n + c + 1) (n + 1)}}{A + B \frac{c (n + a) (n + b)}{a b (n + c)}} \\ = & \frac{a b A (n + c + 1) + c B (n + a + 1) (n + b + 1)}{a b (n + c) A + c B (n + a) (n + b)} \frac{(n + a) (n + b)}{(n + c + 1) (n + 1)} \\ = & \frac{c B n^{2} + {a b A + c (a + b + 2) B} n + a b (c + 1) A + c (a + 1) (b + 1) B}{c B n^{2} + {a b A + c (a + b) B} n + a b c (A + B)} \frac{(n + a) (n + b)}{(n + c + 1) (n + 1)} \end{array}$
[3]以下の二次方程式の解を求める。そしてそれらを $- λ_{\pm}, - μ_{\pm}$ とする。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} c B x^{2} + {a b A + c (a + b + 2) B} x + a b (c + 1) A + c (a + 1) (b + 1) B = 0 \\ c B x^{2} + {a b A + c (a + b) B} x + a b c (A + B) = 0 \end{cases} \end{array}$
[4]
$\begin{array}{rcl} A \frac{(a)_{n} (b)_{n}}{(c)_{n} n!} + B \frac{(a + 1)_{n} (b + 1)_{n}}{(c + 1)_{n} n!} & = & \frac{(n + λ_{-} - 1) (n + λ_{+} - 1) (n + a - 1) (n + b - 1)}{(n + μ_{-} - 1) (n + μ_{+} - 1) (n + c) n} {A \frac{(a)_{n - 1} (b)_{n - 1}}{(c)_{n - 1} (n - 1)!} + B \frac{(a + 1)_{n - 1} (b + 1)_{n - 1}}{(c + 1)_{n - 1} (n - 1)!}} \\ = & {\frac{a b}{c} A + \frac{(a + 1) (b + 1)}{c + 1} B} \frac{(λ_{-} + 1)_{n - 1} (λ_{+} + 1)_{n - 1} (a + 1)_{n - 1} (b + 1)_{n - 1}}{(μ_{-} + 1)_{n - 1} (μ_{+} + 1)_{n - 1} (c + 2)_{n - 1} n!} \\ = & \frac{a b (c + 1) A + c (a + 1) (b + 1) B}{c (c + 1)} \frac{(λ_{-} + 1)_{n - 1} (λ_{+} + 1)_{n - 1} (a + 1)_{n - 1} (b + 1)_{n - 1}}{(μ_{-} + 1)_{n - 1} (μ_{+} + 1)_{n - 1} (c + 2)_{n - 1} n!} (1 \leq n) \end{array}$
[5]
$A_{2} F_{1} (a, b; c; z) + B_{2} F_{1} (a + 1, b + 1; c + 1; z) = A + B + \frac{a b (c + 1) A + c (a + 1) (b + 1) B}{c (c + 1)} z_{5} F_{4} (λ_{-} + 1, λ_{+} + 1, a + 1, b + 1, 1; μ_{-}, μ_{+}, c + 2, 2; z)$