0

モノイダルプロ函手のDay畳み込み

8
0

モノイダル圏

モノイダル圏Mとはモノイダル函手:M×MMが定まった圏で,次を満たすものを言う.

  • 単位対象IMの存在.
    対象IMが存在して任意の対象MMに対して.
    ρM:MIMλM:IMM
    となる同型ρM,λMが存在する.
  • 任意の対象A,B,CMに対して,
    αA,B,C:(AB)CA(BC)
    となる同型が存在する.
    また互角恒等式と三角恒等式を満たす.
    ((AB)C)DαA,B,CidD(A(BC))DαA,BC,DA((BC)D)αAB,C,DidAαB,C,D(AB)(CD)αA,B,CDA(B(CD))
    (AI)BαA,I,BA(IB)ρAidBidAλBAB
    モノイダル圏上の函手をモノイダル函手やモノイダルプロ函手と呼ぶ.

Day畳み込み

モノイダルプロ函手間の新しい演算としてDay畳み込みを定義する.
Day畳み込みとは人名'Brian Day'から取ってDay Convolutionと命名されている.
モノイダル圏E上のモノイダル函手F,G:ESetに対してDay畳み込み(FG)Eは次のように定義される.
(FG)E:=x,yEF(x)G(y)ΔE(xy)
また,モノイダル圏C,D上のモノイダルプロ函手P,Q:Cop×DSetに対してDay畳み込み(FG)DCは次のように定義される.
(FG)DC:=A,CCB,DDP(B)(A)Q(D)(C)Δ(AC)CΔD(BD)

Day畳み込みの単位元

プロ函手のDay畳み込みは単位元JDCを持つ.
JDC:=Δ(I)CΔD(I)
左単位律を示す.
(JQ)DC=A,CCB,DDJ(B)(A)Q(D)(C)Δ(AC)CΔD(BD)=A,CCB,DDΔ(I)(A)Δ(B)(I)Q(D)(C)Δ(AC)CΔD(BD)
ここ で,Δの単位律を用いる.
=CCDDQ(D)(C)Δ(IC)CΔD(ID)CCDDQ(D)(C)Δ(C)CΔD(D)=QDC
右単位律は省略する.

投稿日:2024611
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中
  1. モノイダル圏
  2. Day畳み込み
  3. Day畳み込みの単位元