Liuによる展開公式
$q$微分を
\begin{align}
D_{q,x}f(x):=\frac{f(x)-f(xq)}{x}
\end{align}
とする.
$ \left[n\atop k\right]:=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}$とする.
\begin{align}
D_{q,x}^n(f(x)g(x))&=\sum_{k=0}^nq^{k(k-n)}\left[n\atop k\right]D_{q,x}^k(f(x))D_{q,x}^{n-k}(g(xq^k))
\end{align}
$n$に関する帰納法によって示される.
$f(x)$は$x=0$の近傍で正則関数であるとするとき,
\begin{align}
f(a)&=\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(aq/b;q)_nb^n}{(q,b;q)_n}D_{q,x}^n(f(x)(x;q)_{n-1}))_{x=aq}
\end{align}
が成り立つ.
$b$に関するべき級数は
\begin{align}
\frac{b^n}{(b;q)_n}=b^n+O(b^{n+1})
\end{align}
によって係数が$b$によらない無限和として一意的に表すことができる. また,
\begin{align}
\frac{b^n}{(b;q)_n}
\end{align}
は
\begin{align}
\frac{(a q/b;q)_nb^n}{(b;q)_n}&=\frac{\prod_{k=0}^{n-1}(b-a q^k)}{(b;q)_n}
\end{align}
からなる関数列の係数が$b$によらない線形和として一意に表すことができる. よって, 関数$f(b)$を
\begin{align}
f(b)&=\sum_{0\leq n}A_n\frac{(aq/b;q)_nb^n}{(b;q)_n}
\end{align}
と展開したときの係数$A_n$は一意的である. 両辺に$(b;q)_{n-1}$を掛けて,
\begin{align}
f(b)(b;q)_{n-1}&=\sum_{k=0}^{n-1}A_k(aq/b;q)_kb^k(1-bq^{k})\cdots (1-bq^{n-2})\\
&\qquad+A_n\frac{(aq/b;q)_nb^n}{1-bq}+\sum_{n< k}A_k\frac{(aq/b;q)_kb^k}{(1-bq^{n-1})\cdots (1-bq^{k-1})}
\end{align}
両辺に$D_{q,b}^n$を作用させて, $b=aq$とすると
\begin{align}
D_{q,b}^n(f(b)(b;q)_{n-1})_{b=aq}&=\sum_{k=0}^{n-1}A_kD_{q,b}^n((aq/b;q)_kb^k(1-bq^{k})\cdots (1-bq^{n-2}))_{b=aq}\\
&\qquad+A_nD_{q,b}^n\left(\frac{(aq/b;q)_nb^n}{1-bq}\right)_{b=aq}+\sum_{n< k}A_kD_{q,b}^n\left(\frac{(aq/b;q)_kb^k}{(1-bq^{n-1})\cdots (1-bq^{k-1})}\right)_{b=aq}
\end{align}
1つ目の項は$b$に関する$n-1$次の多項式の$n$階$q$微分だから$0$になる. $n$に関する帰納法によって,
\begin{align}
D_{q,b}^n(aq/b;q)_kq^k&=\frac{(q;q)_k}{(q;q)_{k-n}}(aq/b;q)_{k-n}b^{k-n}
\end{align}
が分かるので,
\begin{align}
D_{q,b}^n((aq/b;q)_kb^k)_{b=aq}&=\begin{cases}
0\quad k\neq n\\
(q;q)_n\quad k=n
\end{cases}
\end{align}
が成り立つ. よって$q$-Leibniz則によって3つ目の項$0$になり, 2つ目の項は
\begin{align}
A_nD_{q,b}^n\left(\frac{(aq/b;q)_nb^n}{1-bq}\right)_{b=aq}&=\frac{(q;q)_n}{1-aq^{2n}}A_n
\end{align}
となる. これより,
\begin{align}
A_n&=\frac{1-aq^{2n}}{(q;q)_n}D_{q,b}^n(f(b)(b;q)_{n-1})_{b=aq}
\end{align}
であるからこれを代入して定理を得る.
$n$に関する帰納法によって
\begin{align}
D_{q,x}^n\frac{(tx;q)_{\infty}}{(sx;q)_{\infty}}&=s^n\frac{(t/s;q)_n}{(t;q)_n}\frac{(tx;q)_{\infty}}{(sx;q)_{\infty}}
\end{align}
を示すことができる. その特別な場合として,
\begin{align}
D_{q,x}^n\frac{(x;q)_{n-1}}{(x;q)_{n+m}}&=q^{n(n-1)}\frac{(x;q)_{n-1}(q;q)_{n+m}}{(q;q)_m(x;q)_{2n+m}}
\end{align}
を得る. 定理を
\begin{align}
f(b)&=\sum_{0\leq n}\frac{(a/z;q)_nz^n}{(b;q)_n}
\end{align}
に適用することを考える. Heineの和公式を用いると,
\begin{align}
D_{q,x}^n((x;q)_{n-1}f(x))_{x=aq}&=\sum_{n\leq k}(a/z;q)_kz^kD_{q,x}^n\left(\frac{(x;q)_{n-1}}{(x;q)_k}\right)_{x=aq}\\
&=\frac{(q,a/z,a;q)_nq^{n(n-1)}z^n}{(a;q)_{2n+1}}\Q21{aq^n/z,q^{n+1}}{aq^{2n+1}}{z}\\
&=\frac{(q,a/z,a;q)_nq^{n(n-1)}z^n}{(a;q)_{2n+1}}\frac{(zq^{n+1},aq^n;q)_{\infty}}{(aq^{2n+1},z;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(a/z,q;q)_nq^{n(n-1)}z^n}{(z;q)_{n+1}}
\end{align}
であるから, $a\mapsto az$として以下を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^n&=\sum_{0\leq n}\frac{(1-azq^{2n})(azq/b,a;q)_nq^{n(n-1)}(bz)^n}{(b;q)_n(z;q)_{n+1}} \end{align}
定理2からは他にもRogersの${}_6\phi_5$和公式やWatsonの${}_8\phi_7$変換公式, Hecke-Rogers型の公式などの様々な公式を導出することができる.
参考文献
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
