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Liuによる展開公式

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$q$ 微分を
$\begin{array}{r} D_{q, x} f (x) := \frac{f (x) - f (x q)}{x} \end{array}$
とする.

q

-Leibniz則

$[\binom{n}{k}] := \frac{(q; q)_{n}}{(q; q)_{k} (q; q)_{n - k}}$ とする.
$\begin{aligned} D_{q, x}^{n} (f (x) g (x)) & = \sum_{k = 0}^{n} q^{k (k - n)} [\binom{n}{k}] D_{q, x}^{k} (f (x)) D_{q, x}^{n - k} (g (x q^{k})) \end{aligned}$

$n$ に関する帰納法によって示される.

Liu(2002)

$f (x)$ は $x = 0$ の近傍で正則関数であるとするとき,
$\begin{aligned} f (a) & = \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - a q^{2 n}) (a q / b; q)_{n} b^{n}}{(q, b; q)_{n}} D_{q, x}^{n} (f (x) (x; q)_{n - 1}))_{x = a q} \end{aligned}$
が成り立つ.

$b$ に関するべき級数は
$\begin{array}{r} \frac{b^{n}}{(b; q)_{n}} = b^{n} + O (b^{n + 1}) \end{array}$
によって係数が $b$ によらない無限和として一意的に表すことができる. また,
$\begin{array}{r} \frac{b^{n}}{(b; q)_{n}} \end{array}$
は
$\begin{aligned} \frac{(a q / b; q)_{n} b^{n}}{(b; q)_{n}} & = \frac{\prod_{k = 0}^{n - 1} (b - a q^{k})}{(b; q)_{n}} \end{aligned}$
からなる関数列の係数が $b$ によらない線形和として一意に表すことができる. よって, 関数 $f (b)$ を
$\begin{aligned} f (b) & = \sum_{0 \leq n} A_{n} \frac{(a q / b; q)_{n} b^{n}}{(b; q)_{n}} \end{aligned}$
と展開したときの係数 $A_{n}$ は一意的である. 両辺に $(b; q)_{n - 1}$ を掛けて,
$\begin{aligned} f (b) (b; q)_{n - 1} & = \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k} (a q / b; q)_{k} b^{k} (1 - b q^{k}) \dots (1 - b q^{n - 2}) \\ + A_{n} \frac{(a q / b; q)_{n} b^{n}}{1 - b q} + \sum_{n < k} A_{k} \frac{(a q / b; q)_{k} b^{k}}{(1 - b q^{n - 1}) \dots (1 - b q^{k - 1})} \end{aligned}$
両辺に $D_{q, b}^{n}$ を作用させて, $b = a q$ とすると
$\begin{aligned} D_{q, b}^{n} (f (b) (b; q)_{n - 1})_{b = a q} & = \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k} D_{q, b}^{n} ((a q / b; q)_{k} b^{k} (1 - b q^{k}) \dots (1 - b q^{n - 2}))_{b = a q} \\ + A_{n} D_{q, b}^{n} {(\frac{(a q / b; q)_{n} b^{n}}{1 - b q})}_{b = a q} + \sum_{n < k} A_{k} D_{q, b}^{n} {(\frac{(a q / b; q)_{k} b^{k}}{(1 - b q^{n - 1}) \dots (1 - b q^{k - 1})})}_{b = a q} \end{aligned}$
1つ目の項は $b$ に関する $n - 1$ 次の多項式の $n$ 階 $q$ 微分だから $0$ になる. $n$ に関する帰納法によって,
$\begin{aligned} D_{q, b}^{n} (a q / b; q)_{k} q^{k} & = \frac{(q; q)_{k}}{(q; q)_{k - n}} (a q / b; q)_{k - n} b^{k - n} \end{aligned}$
が分かるので,
$\begin{aligned} D_{q, b}^{n} ((a q / b; q)_{k} b^{k})_{b = a q} & = {\begin{cases} 0 k \neq n \\ (q; q)_{n} k = n \end{cases} \end{aligned}$
が成り立つ. よって $q$ -Leibniz則によって3つ目の項 $0$ になり, 2つ目の項は
$\begin{aligned} A_{n} D_{q, b}^{n} {(\frac{(a q / b; q)_{n} b^{n}}{1 - b q})}_{b = a q} & = \frac{(q; q)_{n}}{1 - a q^{2 n}} A_{n} \end{aligned}$
となる. これより,
$\begin{aligned} A_{n} & = \frac{1 - a q^{2 n}}{(q; q)_{n}} D_{q, b}^{n} (f (b) (b; q)_{n - 1})_{b = a q} \end{aligned}$
であるからこれを代入して定理を得る.

$n$ に関する帰納法によって
$\begin{aligned} D_{q, x}^{n} \frac{(t x; q)_{\infty}}{(s x; q)_{\infty}} & = s^{n} \frac{(t / s; q)_{n}}{(t; q)_{n}} \frac{(t x; q)_{\infty}}{(s x; q)_{\infty}} \end{aligned}$
を示すことができる. その特別な場合として,
$\begin{aligned} D_{q, x}^{n} \frac{(x; q)_{n - 1}}{(x; q)_{n + m}} & = q^{n (n - 1)} \frac{(x; q)_{n - 1} (q; q)_{n + m}}{(q; q)_{m} (x; q)_{2 n + m}} \end{aligned}$
を得る. 定理を
$\begin{aligned} f (b) & = \sum_{0 \leq n} \frac{(a / z; q)_{n} z^{n}}{(b; q)_{n}} \end{aligned}$
に適用することを考える. Heineの和公式を用いると,
$\begin{aligned} D_{q, x}^{n} ((x; q)_{n - 1} f (x))_{x = a q} & = \sum_{n \leq k} (a / z; q)_{k} z^{k} D_{q, x}^{n} {(\frac{(x; q)_{n - 1}}{(x; q)_{k}})}_{x = a q} \\ = \frac{(q, a / z, a; q)_{n} q^{n (n - 1)} z^{n}}{(a; q)_{2 n + 1}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a q^{n} / z, q^{n + 1} \\ a q^{2 n + 1} \end{array}; z] \\ = \frac{(q, a / z, a; q)_{n} q^{n (n - 1)} z^{n}}{(a; q)_{2 n + 1}} \frac{(z q^{n + 1}, a q^{n}; q)_{\infty}}{(a q^{2 n + 1}, z; q)_{\infty}} \\ = \frac{(a / z, q; q)_{n} q^{n (n - 1)} z^{n}}{(z; q)_{n + 1}} \end{aligned}$
であるから, $a \mapsto a z$ として以下を得る.

Rogers-Fineの恒等式

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} z^{n} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - a z q^{2 n}) (a z q / b, a; q)_{n} q^{n (n - 1)} (b z)^{n}}{(b; q)_{n} (z; q)_{n + 1}} \end{aligned}$