自作問題集

△ABDを鋭角三角形とする
△AEFが△ABDと相似でかつ、相似比が2:7となるように
点E,Fを半直線AB,AD上にとり、線分FBと線分DEの交点をCとする。
線分BD,ACの中点をP,Qとし、直線PQと線分EFの交点をRとする。
また、線分AEの中点をSとし、線分FSとARの交点を通るように点Eから直線を引き、
線分AFとの交点をIとする。この時、面積比△ICR:△ACEを求めよ。

△ABCで∠A=60°とする。
外心をO,内心をI,点Aに対する傍心を$I_{A}$とするとき
2$AO$=$II_{A}$を示せ。

空間内に一辺の長さがaの正三角形ABCがある
この三角形を辺AB,BC,CAを軸として60°回転させ、三つの三角形を作る。
（ただし、回転後のこれらの三角形はすべて△ABCについて同じ側にあるとする）
このとき、回転後のすべての三角形と△ABCによって囲まれてできる立体の体積を求めよ。

以下の不等式の満たす領域をx-y平面上に図示せよ
$ \left| y \right| \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \geq \left| x \right| \frac{y^{2}}{1+y^{2}} $

次の方程式を解け
$$4x^4 + 4\sqrt{3}x^3 + 27x^2 + 12\sqrt{3}x + 36 = 0$$

有理数係数の二次方程式f(x)=0はx=$\sin$$\frac{ \pi}{12}$を解に持たないことを示せ

tを実数とする。次の式の変域を求めよ
$$\frac{(1-t^2) + \sqrt{1+t^2}}{(1+t^2) + \sqrt{t^2(1+t^2)}}$$

次の和を求めよ.
$$\sum_{k=0}^{n} k^2 \left( \sin \frac{k+1}{4}\pi - \sin \frac{k}{4}\pi \right)$$

xを実数とする。xが100以下のとき
$$\left\lfloor x^2 + \lfloor x \rfloor + \frac{1}{2} \right\rfloor \cdot \lbrace x \rbrace = 1$$
をみたすxの個数を求めよ.
ただし$\lfloor x \rfloor$はxの整数部分を表し、 $\lbrace x \rbrace$はxの小数部分を表す。

四角形ABCDは正方形.
E,Fは直線BD,CD上にあり, GE=BD+CDである.
正方形の面積が1のとき, 次の図全体の面積を求めよ.
図

円周の長さが $12\pi$ である円 $O$ がある。点 $P_1, P_2, \dots, P_{12}$ は円周上のある点 $A$ を同時に出発し、すべての点は同じ方向にそれぞれ秒速 $\pi, 2\pi, \dots, 12\pi$ で移動する。最初に多角形 $P_1 P_2 \dots P_{12}$ の面積が最大になるのは出発してから何秒後ですか？また、その時の多角形の面積を求めてください

平面上に中心$(0, 0)$半径$R_1$の円$O_1$と、中心$(a, 0)$、半径$R_2$の円$O_2$がある。これら2円に外接する円の中心の軌跡を求めよ。

$2026^{2026}$の桁数と最高位の数を求めよ。ただし、次の不等式を用いてもよい。
$0.30102 < \log_{10} 2 < 0.30103$
$0.47712 < \log_{10} 3 < 0.47713$

次の式の最小値をできるだけ簡単に求めよ。ただし、t$\in$$\mathbb{R}, 0\leq \theta$$\leq2\pi$とする。
$\sqrt{25 t^{2}+t(-34-8\cos \theta-6 \sin \theta )+14+4\cos\theta+6\sin\theta }$

次の式の値域をできるだけ簡単に求めよ。ただし$s,t$は$s^2+t^2 \leq 1$をみたす実数であり,$0$$\leq$$\theta$$\lt$$2\pi$とする。
$\sqrt{3+4st+(st)^2-2(s+t)\cos\theta-2(1+st)\sin\theta}$

下の図のように小正方形25個によって構成されたマス目がある。
駒をあるマスから隣接する上下左右のいずれかのマスに移動させることを「操作」とする。
始めマスSに駒を置き、16回の操作を施した後、駒がマスGにたどり着くような動かし方は何通りありますか。
ただし、一度通ったマスを通ってもよいものとするが、マスGには一度しか通れないものとする。
マス目

下の図のように小正三角形16個によって構成されたマス目がある。
駒をあるマスから小正三角形の辺で隣接するいずれかのマスに移動させることを「操作」とする。
始め青マスに駒を置き、16回の操作を施した後、駒が赤マスにたどり着くような動かし方は何通りありますか。
ただし、一度通ったマスを通ってもよいものとするが、赤マス、青マスには一度しか通れないものとする。
マス目

$x^6-6x^5+15x^4-20x^3+3x^2+18x-19=0$はただ1つの正の実数解をもちます。それを求めてください

$x^9+x^7+x^6+x^3+1$を因数分解してください。

$\triangle ABC$において,$BC=2$であり,点$A,B,C$に対する傍接円を$R_1,R_2,R_3$とする.
$R_1,R_2,R_3$の半径が$4,3,2$であるとき，$\triangle ABC$の内接円の半径を求めよ．

$x^8+4x^5+6x^4+12x+9=0$を解け.

三次方程式$x^3+px+q=0$の3つの解の絶対値がすべて$1$であるとき、実数$p,q$の条件を求めよ

$0$以上であって,$\sum_{k=1}^{n} {x}_{k}=\pi$をみたす$n$個の実数$x_{1},x_{2}…x_{n}$について,
$f(x_{1},x_{2}…x_{n})=\sum_{k=1}^{n} \sin({x}_{k})$と定義し,$f(x_{1},x_{2}…x_{n})$の最大値を$M(n)$とする.
このとき極限$\lim_{n \to \infty}M(n)$を求めよ.

$913^n \equiv 1 \pmod{2025} $となる最小の自然数$n$をもとめよ.

$\angle C=90^{\circ},AC=1,CB= \sqrt{2},BA=\sqrt{3} $なる$\triangle ABC$がある.
この三角形の重心を$G$とし$\triangle GBC$の外接円と半直線$AC,AG$,線分$AB$の交点のうち
$B,C,G$でないものをそれぞれ$D,E,F$とする.
このとき、六角形$CDEBFG$の面積を求めよ.
図（必ずしも正確とは限らない）