多重ゼータ値について初心者向けにわかりやすく書いてみた記事

「多重ゼータ値面白そうだけどわかんない…」

「調和積とシャッフル積って何？」

そんな人たちに向けて解説記事を書いてみました。

前提知識は大学1年生までの数学の知識があれば十分です。

一部慣れない記法があるかもしれませんがそのたびに解説していきます。

ぜひ最後までご覧ください。

多重ゼータ値とは

レベル：★☆☆☆☆

多重ゼータ値について解説する前に、一般のリーマンゼータ関数について解説していきたいと思います。

リーマンゼータ関数とは

\begin{eqnarray} \zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots \end{eqnarray}

で定義される関数です。

$s=1$で発散し、$1< s$では収束します。

具体的な値はたとえば、

\begin{eqnarray} \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6},\, \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90},\cdots \end{eqnarray}

などとなっています。

リーマンゼータ関数は数学の各分野で非常に注目されているのですが、その理由の1つはオイラー積表示があるからでしょう。

\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^s}=\prod_{p \, : \, \text{prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}. \end{eqnarray}

具体的な関数と素数を結びつける公式として非常に大きな注目を浴びています。

リーマンゼータ関数についてはたくさん面白い話題があるのですが、今回はこれくらいにして多重ゼータ値について話を進めます。

多重ゼータ値とは、簡単に言えばリーマンゼータ関数の一般化であり拡張バージョンです。

つまり、変数を$s$の1個から$r$個へと拡張します。

定義を見ましょう。

まずはシグマの読み方を解説します。

\begin{eqnarray} \sum_{0< k_r<\cdots< k_2< k_1}\frac{1}{k_1^{a_1}k_2^{a_2} \cdots k_r^{a_r}} \end{eqnarray}

のシグマの下にある式の意味は$0< k_r<\cdots< k_2< k_1$をみたす整数$k_1,k_2,\cdots,k_r$全体にわたって和を取ることを意味します。

たとえば$0< k_2< k_1$だと$(k_1,k_2)=(2,1),(5,3),(7,2),\cdots$などのペアが該当します。

その条件を満たす$r$個の整数をすべて集めて和を取るということです。

それを展開したのが1番右の式です。

そして、変数はすべて正整数とします。

そのほうがあとあと便利だからです。

さらに、変数が1つだけのときはリーマンゼータ関数に一致します。

リーマンゼータ関数の一般化であることが簡単にわかりますね。

さて、級数を定めたはいいのですが収束するかどうかが重要です。

これに関しては次のことが知られています。

つまり、先頭に来ている数が$2$以上の整数であれば収束するということですね。

ここで、$r$個の変数を正整数の組とみてインデックスという概念を導入します。

インデックス

レベル：★☆☆☆☆

これは定義なので覚えておいてください。

たとえば$\text{dp}((2,1,3))=3, \, \text{wt}((2,1,3))=6$です。

このとき、興味深い公式が成立します。

実は多重ゼータ値はリーマンゼータ関数と密接に結びついているのです。

さらに面白いことに、多重ゼータ値の集合には次のような性質があります。

たとえば、$\zeta(2)\zeta(2,1)=\frac{11}{5}\zeta(2,3)+\frac{9}{5}\zeta(3,2)$というふうに書けます。

指数法則のように掛け算と足し算が密接な関係で結びついているんですね。

たとえば$4\zeta(2,2,1)+6\zeta(2,3)=5\zeta(5)$のように多重ゼータ値を等式で結んだものを関係式といいます。

数学者の目標はすべての関係式を導出することです。

ですが、$\zeta(2)=A\zeta(3)$ ($A$はある定数 ), $\zeta(\varnothing)\zeta(2)=\zeta(2)$ というようによくわからないものや自明なものまで関係式に含めてしまったらきりがありません。

そこで係数は有理数のみ、つまり$\mathbb{Q}$上の非自明な線形関係式に限るという条件を課します。

そうするといろいろな関係式が得られます。

例えばこんな感じです。

\begin{eqnarray} ・\zeta(3)&=&\zeta(2,1) \\ ・\zeta(4)&=&\zeta(2,1,1) \\ ・5\zeta(5)&=&4\zeta(2,2,1)+6\zeta(2,3). \end{eqnarray}

また、複数の関係式たちを一気に導出できる公式を関係式族とよびます。

有名な関係式族を紹介しましょう。

…と、その前にインデックスに代わるwordという概念を導入します。

word

レベル：★★☆☆☆

たとえば$e_0^2e_1 \leftrightarrow (3)$なので$\zeta(e_0^2e_1)=\zeta(3)$です。

他にもたくさん例を挙げておきましょう。

$e_0^3e_1e_0e_1^2 \leftrightarrow (4,2,1)$なので$\zeta(e_0^3e_1e_0e_1^2)=\zeta(4,2,1)$
$e_0^2e_1e_0e_1^3 \leftrightarrow (3,2,1,1)$なので$\zeta(e_0^2e_1e_0e_1^3)=\zeta(3,2,1,1).$

このとき、次の有名な関係式が成り立ちます。

wordの指数部分を反転させたものが等しいということですね。

たとえば $\zeta(4,2,1)=\zeta(3,2,1,1)$が成立します。

このような理由で、インデックスよりもwordのほうが扱いやすい場面が多々あります。

その1つが調和積とシャッフル積です。

調和積とシャッフル積

レベル：★★★☆☆

定義だけ見ても意味不明かもしれません。実際に計算してみましょう。

下線を引いた部分に注目してください。たとえば、

\begin{eqnarray} e_0^3e_1^2*e_0e_1&=&\underline{e_0^3e_1}e_1*\underline{e_0e_1} \\ &=& \underline{e_0^3e_1}(e_1*\underline{e_0e_1})+\underline{e_0e_1}(\underline{e_0^3e_1}e_1*1)+\underline{e_0^5e_1}(e_1*1) \\ &=& e_0^3e_1(e_1*e_0e_1)+e_0e_1e_0^3e_1^2+e_0^5e_1^2 \\ &=& e_0^3e_1(\underline{e_0^0e_1}*\underline{e_0e_1})+e_0e_1e_0^3e_1^2+e_0^5e_1^2 \\ &=& e_0^3e_1\underline{e_0^0e_1}(1*\underline{e_0e_1})+e_0^3e_1\underline{e_0e_1}(\underline{e_0^0e_1}*1)+e_0^3e_1\underline{e_0^2e_1}(1*1)+e_0e_1e_0^3e_1^2+e_0^5e_1^2 \\ &=& e_0^3e_1^2e_0e_1+e_0^3e_1e_0e_1^2+e_0^3e_1e_0^2e_1+e_0e_1e_0^3e_1^2+e_0^5e_1^2. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} e_0e_1 \, \text{ш} \, e_0^2e_1&=&\underline{e_0}e_1 \, \text{ш} \, \underline{e_0}e_0e_1 \\ &=&\underline{e_0}(e_1 \, \text{ш} \, \underline{e_0}e_0e_1)+\underline{e_0}(\underline{e_0}e_1 \, \text{ш} \, e_0e_1) \\ &=& e_0(e_1 \, \text{ш} \, e_0e_0e_1)+e_0(e_0e_1 \, \text{ш} \, e_0e_1) \\ &=& e_0(\underline{e_1} \, \text{ш} \, \underline{e_0}e_0e_1)+e_0(\underline{e_0}e_1 \, \text{ш} \, \underline{e_0}e_1) \\ &=& e_0 \underline{e_1}(1 \, \text{ш} \, \underline{e_0}e_0e_1)+e_0 \underline{e_0}(e_1 \, \text{ш} \, e_0e_1)+e_0\underline{e_0}(e_1 \, \text{ш} \, \underline{e_0}e_1)+e_0\underline{e_0}(\underline{e_0}e_1 \, \text{ш} \, e_1) \\ &=& \cdots \\ &=& e_0e_1e_0^2e_1+3e_0^2e_1e_0e_1+6e_0^3e_1^2. \end{eqnarray}

非常にめんどくさいですね。

ですが、それよりもどうしてこんなことをし始めたのかというと次の美しい性質が成り立つからです。

証明は別の文献で見ていただきたいのですが、非常に面白いです。

この公式により非常に多くの関係式が得られます。

だからwordが重要なんですね。

さきほどの例でいえば、

\begin{eqnarray} \zeta(e_0^3e_1^2)\zeta(e_0e_1)&=&\zeta(e_0^3e_1^2e_0e_1)+\zeta(e_0^3e_1e_0e_1^2)+\zeta(e_0^3e_1e_0^2e_1)+\zeta(e_0e_1e_0^3e_1^2)+\zeta(e_0^5e_1^2), \\ \zeta(e_0e_1)\zeta(e_0^2e_1)&=&\zeta(e_0e_1e_0^2e_1)+3\zeta(e_0^2e_1e_0e_1)+6\zeta(e_0^3e_1^2). \end{eqnarray}

が成り立っています。

気になる人はwordをインデックスに変換してみてください。

ですが、この有限複シャッフル関係式をもってしても導けない関係式があります。

たとえば$\zeta(2,1)=\zeta(3)$です。

$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$の両方とも許容インデックスでなければならないという制限がある以上、$\zeta(2,1)=\zeta(3)$は導けません。

そこで、片方を許容インデックスでなくてもいいようにしたのが正規化複シャッフル関係式です。

ですが1つ問題があります。

それは、許容インデックスではないインデックスに対応する多重ゼータ値は発散してしまうことです。

そこを正規化というプロセスを経てうまく乗り越えたのが正規化複シャッフル関係式です。

どんなことをするのかというと、発散する多重ゼータ値の定数項だけを取り出そうという発想です。

例えば、正規化複シャッフル関係式の手前のバージョンである次の関係式を見てみてください。

これであれば、$\boldsymbol{a}=(2), \, \boldsymbol{b}=(1)$とすることにより$(2)*(1)-(2) \, \text{ш} \, (1)=(3)-(2,1)$なので$\zeta(2,1)=\zeta(3)$が導けます。

つまり、発散する部分を上手く打ち消し合わせることで新しい関係式を導こうという発想です。

これを踏まえ、最強の関係式族の1つと言われている正規化複シャッフル関係式に迫ろうと思います。

正規化複シャッフル関係式

レベル：★★★★☆

ここで、$0^0=1$と定めることに注意してください。

ためしに$\boldsymbol{a}=(2),\boldsymbol{b}=(1,1)$としてみましょう。

$\boldsymbol{a}*\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a} \, \text{ш} \, \boldsymbol{b}=(1,3)-(1,2,1)+(3,1)-2(2,1,1)$ です。

$(1,3)=e_1e_0^2e_1=-e_0e_1e_0e_1-2e_0^2e_1^2+e_1 \, \text{ш} \, e_0^2e_1$ より $\zeta^\text{ш}(1,3)=-\zeta(2,2)-2\zeta(3,1)$ です。

一方、$(1,2,1)=e_1e_0e_1^2=-3e_0e_1^3+e_1 \, \text{ш} \, e_0e_1^2$ より $\zeta^\text{ш}(1,2,1)=-3\zeta(2,1,1)$ です。

以上より $-\zeta(2,2)-2\zeta(3,1)+3\zeta(2,1,1)+\zeta(3,1)-2\zeta(2,1,1)=-\zeta(2,2)-\zeta(3,1)+\zeta(2,1,1)=0.$

よって $\zeta(2,1,1)=\zeta(2,2)+\zeta(3,1)$ を得ます。

これは数値的にも一致しています。

この正規化複シャッフル関係式はすべての関係式を導くと予想されていて、最強の関係式族の1つだと言われています。

しかし、双対性が正規化複シャッフル関係式から導けるかどうかは現状未解決であり、多分導けるだろうと予想されてはいますが証明されていません。

そこで、双対性をも導ける最強の関係式族であるアソシエータ関係式についてあとで紹介します。

まずは多重ゼータ値のもう一つの中心的な話題であるコネクターについて紹介しようと思います。

コネクター

レベル：★★★☆☆

突然ですが、$\boldsymbol{a}=(a_1,\cdots,a_r), \, \boldsymbol{b}=(b_1,\cdots,b_s)$としてこんな級数を考えます。

\begin{eqnarray} Z(\boldsymbol{a};\boldsymbol{b})=\sum_{\substack{0< k_r<\cdots< k_1 \\ 0< l_s<\cdots< l_1}}\frac{1}{k_1^{a_1} \cdots k_{r}^{a_r}} \frac{{k_1}!{l_1}!}{(k_1+l_1)!} \frac{1}{l_1^{b_1} \cdots l_{s}^{b_s}}. \end{eqnarray}

ここで、シグマの意味は$0< k_r<\cdots< k_1$を満たす整数$k_1,\cdots,k_r$と$0< l_s<\cdots< l_1$を満たす整数$l_1,\cdots,l_s$を全て集めてそれぞれ独立に足すという意味です。

その前に便利な記法について紹介します。

このとき、次の3つの等式が成り立ちます。

この3つの式を使えば双対性が示せます。

このように、簡単な級数変形だけで双対性が証明できてしまいました。

このような方法は連結和法と呼ばれていて、日本人の関真一朗さんと山本修司さんにより初めて発見されました。

多重ゼータ値の世界では日本人が大きな役割を果たしています。すごいですね。

そんな話は他の文献にゆずるとして、いよいよアソシエータ関係式について話をしようと思います。

アソシエータ関係式

レベル：★★★★★

まず、アソシエータ関係式について話を始める前に準備をしたいと思います。

すでにわかっている人は飛ばしていただいて大丈夫です。

普通の掛け算の$×,$そしてさっき登場した調和積$*,$シャッフル積$\text{ш}$などはすべて双線形写像です。

明らかに$\otimes$は双線形写像です。

これを踏まえてアソシエータを定義します。

意味不明ですね。笑

特に$\Delta$が意味不明だと思いますが、たとえば
\begin{eqnarray} \Delta(e_0e_1)&=&\Delta(e_0) \Delta(e_1) \\ &=&(e_0 \otimes 1 + 1 \otimes e_0)(e_1 \otimes 1 + 1 \otimes e_1) \\ &=& e_0e_1 \otimes 1+e_0 \otimes e_1+e_1 \otimes e_0 +1 \otimes e_0e_1 \end{eqnarray}
です。

これはテンソル積に次のような演算が成り立っているからです。

ですがこれはあくまでアソシエータの一般的な定義であって多重ゼータ値に対応するアソシエータが存在します。

実際に代入して遊んでみましょう。

(1)commutator group-like の(i)は次のように書き直せます。

これを準同型写像および双線形写像の性質を使い証明してみます。

あとの関係式たちは私の勉強不足により紹介できないため参考文献を参照することをおすすめします。

ですが、このアソシエータ関係式は双対性や正規化複シャッフル関係式すらも従わせることのできる超強力な関係式です。

もちろん、すべての関係式がアソシエータ関係式から従うだろうと予想されてはいますが証明はされていません。

これからも研究は続いていくと思うので、最後に有名な未解決の予想を紹介して終わろうと思います。

$\text{dim}_{\mathbb{Q}}\mathcal{Z}_k \leq d_k$ はすでに証明されていますが、逆側の不等式が証明される気配は全くありません。

この記事を読んでもっと気になったという方は調べてみてください。

最後まで読んでいただきありがとうございました。