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高校数学解説
文献あり

大小比較(自作)

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問題

こんにちは!
今回は以下の問題を考えてみます。

2π24+93はどちらが大きい?
(π>3.1275)

解答

証明の材料として2つの補題を用意します。

下準備

x0のときsinxxx36+x5120

補題1

f(x)=xx36+x5120sinxを繰り返し微分することにより示せる。

sin1.0425<12450011440000

補題2

補題1でx=1.0425として計算すればよい。(f(1.0425)<0.864<12450011440000)

問題の解答

では先程の補題を利用して大小関係を調べてみましょう。

問題の解答

g(x)=x2sinx29とすると,
g(x)=2xcosx,g(x)=2+sinx>0である。g(1)=2cos1>0より,
x>1.0425のとき|cosx|1g(x)2x1>0であることが分かり,
g(x)x>1.0425で単調に増加する。
補題2よりg(1.0425)=12450011440000sin1>0となり,
x>1.0425のときg(x)>0
π3>1.0425であるので,g(π3)=π293229>0
これより,π29>32+29
両辺18して,
2π2>4+93

数字が綺麗になると思ってこれを書いていたら計算ミスがあって数値が汚くなってしまったのは内緒

参考文献

投稿日:2022218
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