大小比較(自作)
問題
こんにちは！
今回は以下の問題を考えてみます。
$2π^2と4+9\sqrt3$はどちらが大きい？
$(π>3.1275であることは用いてよいとする。)$
解答
証明の材料として２つの補題を用意します。
下準備
$x\ge0$のとき$\sin{x}\le x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$
$f(x)= x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} -\sin{x}$を繰り返し微分することにより示せる。
$\sin{1.0425}<\frac{1245001}{1440000}$
補題1で$x=1.0425$として計算すればよい。$\left(f(1.0425)<0.864<\frac{1245001}{1440000}となる。\right)$
問題の解答
では先程の補題を利用して大小関係を調べてみましょう。
$g(x)=x^2-\sin{x}-\frac{2}{9}$とすると,
$g'(x)=2x-\cos{x},g''(x)=2+\sin{x}>0$である。$g'(1)=2-\cos{1}>0$より,
$x>1.0425$のとき$|\cos{x}|≦1よりg'(x)≧2x-1>0$であることが分かり,
$g(x)はx>1.0425$で単調に増加する。
補題2より$g(1.0425)=\frac{1245001}{1440000}-\sin{1}>0$となり,
$x>1.0425$のとき$g(x)>0$
$\frac{π}{3}>1.0425$であるので,$g\left(\frac{π}{3}\right)=\frac{π^2}{9}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{9}>0$
これより,$\frac{π^2}{9}>\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{9}$
両辺$18倍$して,
$2π^2>4+9\sqrt3$
数字が綺麗になると思ってこれを書いていたら計算ミスがあって数値が汚くなってしまったのは内緒