こんにちは!今回は以下の問題を考えてみます。
と2π2と4+93はどちらが大きい?であることは用いてよいとする。(π>3.1275であることは用いてよいとする。)
証明の材料として2つの補題を用意します。
x≥0のときsinx≤x−x36+x5120
f(x)=x−x36+x5120−sinxを繰り返し微分することにより示せる。
sin1.0425<12450011440000
補題1でx=1.0425として計算すればよい。となる。(f(1.0425)<0.864<12450011440000となる。)
では先程の補題を利用して大小関係を調べてみましょう。
g(x)=x2−sinx−29とすると,g′(x)=2x−cosx,g″(x)=2+sinx>0である。g′(1)=2−cos1>0より,x>1.0425のときより|cosx|≦1よりg′(x)≧2x−1>0であることが分かり,はg(x)はx>1.0425で単調に増加する。補題2よりg(1.0425)=12450011440000−sin1>0となり,x>1.0425のときg(x)>0π3>1.0425であるので,g(π3)=π29−32−29>0これより,π29>32+29両辺倍18倍して,2π2>4+93
数字が綺麗になると思ってこれを書いていたら計算ミスがあって数値が汚くなってしまったのは内緒
バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。