ℝ⁴上の WZ method 計算結果まとめ

170

　まず， $W Z 4 -tuple$ について述べます。一般に

$D e f i n i t i o n . (x_{1}, \dots, x_{i}, \dots, x_{n})$ から $(x_{1}, \dots, x_{i} + 1, \dots, x_{n})$ への重みを $F_{i} (x_{1}, \dots, x_{n})$ とし， $j \neq k$ に対して $F_{j} (x_{1}, \dots, x_{n})$ と $F_{k} (x_{1}, \dots, x_{n})$ が $WZ-pair$ であるとき，

\begin{array}{r} (F_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}), \dots, F_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})) \end{array}

を $W Z n -tuple$ と呼ぶ。

という定義のもと，とくに $n = 4$ においては

$W Z 4 - t u p l e$

\begin{array}{r} H (i, j, k, l) = \frac{(a_{1} + a_{3})_{i + k} (a_{1} + a_{4})_{i + l} (a_{2} + a_{3})_{j + k} (a_{2} + a_{4})_{j + l}}{(a_{1})_{i} (a_{2})_{j} (a_{3})_{k} (a_{4})_{l} (- 1 + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4})_{i + j + k + l + 1}} \end{array}

とし

\begin{array}{r} F_{1} (i, j, k, l) = \frac{H (i, j, k, l)}{a_{1} + i}, F_{2} (i, j, k, l) = \frac{H (i, j, k, l)}{a_{2} + j}, F_{3} (i, j, k, l) = - \frac{H (i, j, k, l)}{a_{3} + k}, F_{4} (i, j, k, l) = - \frac{H (i, j, k, l)}{a_{4} + l} \end{array}

とすると，

\begin{array}{r} (F_{1} (i, j, k, l), F_{2} (i, j, k, l), F_{3} (i, j, k, l), F_{4} (i, j, k, l)) \end{array}

は

W Z 4 -tuple

である。

という表示があります。
　始点 $X$ から終点 $Y$ までの任意の経路のとり方に対して，その経路の重みの和が不変であることから， $Y$ を無限遠点とすることで無限級数の等式を得ることができます。ただし，異なる経路の端どうしを結ぶ経路(connecting path)の重みの和が収束する必要があります。実は， $p \geq r, p \geq s, q \geq r, q \geq s$ を満たす任意の非負整数 $p, q, r, s$ に対して， $(p, q, - r, - s)$ ずつ進んだ経路の重みの和は収束し，かつ一致します(connecting pathの重みは $0$ に収束します)。
　 $i, j, k, l$ のいずれかを固定することで， $W Z 3 -tuple, W Z 2 -tuple (WZ-pair)$ とみなすことができます。また，この記事では $r < 0$ に対して $\frac{1}{(0)_{r}} = (- 1)^{r} (- r)!$ とみなすことにします。
　以下，始点を $(0, 0, 0, 0)$ として具体的な和をまとめます。

$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (1 - x, 1, x - y, 0)$

$(1, 0, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(n - x) (n - y)} \end{array}

$(0, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 + x - y)_{n - 1}}{n (1 - y)_{n}} \end{array}

$(1, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{2 n - y}{n - x} + \frac{n - y}{n}) \frac{(1 - y, 1 + x - y)_{n - 1}}{(1 - y)_{2 n}} \end{array}

$(2, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{3 n - y}{2 n - x} + \frac{2 n - y}{n} + \frac{(3 n - 1 - y) (3 n - y)}{(2 n - 1 - x) (2 n - 1 - y)}) \frac{(1 + x - y)_{n - 1} (1 - y)_{2 n - 1}}{(1 - y)_{3 n}} \end{array}

$(1, 2, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{3 n - 1 - y}{n - x} + \frac{n - y}{2 n - 1} + \frac{(n - y) (2 n - 1 + x - y)}{2 n (3 n - y)}) \frac{(1 - y)_{n - 1} (1 + x - y)_{2 n - 2}}{(1 - y)_{3 n - 1}} \end{array}

$(2, 1, - 1, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} + \frac{1}{2 n - y} + \frac{2 n - x}{(n - x) (2 n - 1 - y)}) \frac{(- 1)^{n - 1} (1 - x)_{n} (1 + x - y)_{n - 1}}{(1 - x)_{2 n}} \end{array}

$(2, 1, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{2 n - x}{n - y} + \frac{n - x}{n}) \frac{(1 - x, 1 - x + y)_{n - 1}}{(1 - x)_{2 n}} \end{array}

$(1, 2, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3 n - x - y}{n (\binom{2 n}{n})} \frac{(1 + x - y, 1 - x + y)_{n - 1}}{(1 - x, 1 - y)_{n}} \end{array}

$(2, 2, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{9 n - 2 - x - y}{n} + \frac{2 (2 n - 1) (3 n - x - y)}{(n - x) (n - y)}) \frac{(1 - x, 1 - y)_{n} (1 + x - y, 1 - x + y)_{n - 1}}{(\binom{2 n}{n}) (1 - x, 1 - y)_{2 n}} \end{array}

$(1, 2, - 1, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{2 (2 n - 1) (2 n - y)}{n - y} + 2 n + 1 - x - y) \frac{(- 1)^{n - 1} (1 - y)_{n} (1 + x - y)_{2 n - 2}}{n (\binom{2 n}{n}) (1 - x)_{n} (1 - y)_{2 n}} \end{array}

$(1, 2, 0, - 1)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{2 n - y}{n - x} + \frac{1 - y}{2 n - 1} + \frac{n + x - y}{2 n}) \frac{(- 1)^{n - 1} (1 + x - y, 1 - x + y)_{n - 1}}{(1 - y)_{2 n}} \end{array}

$(1, 1, - 1, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n - y}) \frac{(- 1)^{n - 1} (1 + x - y)_{n - 1}}{(1 - x)_{n}} \end{array}

$(1, 1, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 - x + y)_{n - 1}}{n (1 - x)_{n}} \end{array}

$(1, 1, 0, - 1)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n - x}) \frac{(- 1)^{n - 1} (1 - x + y)_{n - 1}}{(1 - y)_{n}} \end{array}

$(2, 2, 0, - 1)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{n + x - y}{n} + \frac{n + 1 - y}{2 n - 1} + \frac{3 n - y}{2 n - x} + \frac{(3 n - y) (3 n - 1 - y)}{(n - y) (2 n - 1 - x)}) \frac{(- 1)^{n - 1} (1 - y)_{n} (1 - x + y, 1 + x - y)_{n - 1}}{(1 - y)_{3 n}} \end{array}

$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (1 - x, 1 - x - y, x, x)$

$(1, 0, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(n - 1)!^{2}}{(1 - x, 1 - y)_{n}} \end{array}

$(0, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n - y} \frac{(1 - y)_{n - 1}}{(1 - x - y)_{n}} \end{array}

$(1, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{(2 n - y) (n - x - y)}{n^{2}}) \frac{n!^{2} (1 - y)_{n - 1}^{2}}{(1 - x, 1 - x - y)_{n} (1 - y)_{2 n}} \end{array}

$(2, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{(2 n)^{2}}{(n - x - y) (3 n - y)} + \frac{(2 n - x) (3 n - 1 - y)}{(2 n - 1)^{2}}) \frac{(2 n - 1)!^{2} (1 - y)_{n - 1}^{2}}{(1 - x - y)_{n - 1} (1 - x)_{2 n} (1 - y)_{3 n - 1}} \end{array}

$(1, 2, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{(2 n - 1 - x - y) (3 n - 1 - y)}{n^{2}} + \frac{(2 n - 1 - y)^{2}}{(2 n - x - y) (3 n - y)}) \frac{n!^{2} (1 - y)_{2 n - 2}^{2}}{(1 - x)_{n} (1 - x - y)_{2 n - 1} (1 - y)_{3 n - 1}} \end{array}

$(2, 1, - 1, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{3 n - x - y}{2 n} + \frac{(n - x - y) (2 n - x) (2 n - y)}{2 n^{2} (2 n - 1)}) \frac{n! (2 n)! (1 - x, 1 - y)_{n - 1}}{(1 - x - y)_{n} (1 - x, 1 - y)_{2 n}} \end{array}

$(2, 1, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{(2 n - x) (n - x - y)}{n^{2}}) \frac{n!^{2} (1 - x)_{n - 1}^{2}}{(1 - y, 1 - x - y)_{n} (1 - x)_{2 n}} \end{array}

$(1, 2, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{(n - x)^{2}} + \frac{1}{(n - x) (n - y)} + \frac{1}{(n - y)^{2}}) \frac{(1 - x, 1 - y)_{n}}{(1 - x - y)_{2 n}} \end{array}

$(2, 2, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{(2 n - x) (2 n - y)}{n^{2}} + \frac{n^{2} + 2 n - x - y - x y}{(2 n - 1 - x - y) (2 n - x - y)}) \frac{n!^{2} (1 - x, 1 - y)_{n - 1}^{2}}{(1 - x - y)_{2 n - 2} (1 - x, 1 - y)_{2 n}} \end{array}

$(1, 2, - 1, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{(2 n - y) (2 n - 1 - y)} + \frac{n - y}{(2 n - y) (2 n - x - y)} + \frac{2 n - 1 - x - y}{n (2 n - 1 - y)}) \frac{(- 1)^{n - 1}}{n - x} \frac{n! (1 - y)_{n - 1}}{(1 - x - y)_{2 n - 1}} \end{array}

$(1, 1, - 1, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} (\frac{1}{n - x} + \frac{1}{n - y}) \frac{(- 1)^{n - 1} n!}{(1 - x - y)_{n}} \end{array}

$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (1, 1 - x - y, x, y)$

$(1, 0, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 + x, 1 + y)_{n - 1}}{n!^{2}} \end{array}

$(0, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 - x, 1 - y)_{n - 1}}{n! (1 - x - y)_{n}} \end{array}

$(1, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (2 n (n - x - y) + (n + x) (n + y)) \frac{(1 - x, 1 + x, 1 - y, 1 + y)_{n - 1}}{n! (2 n)! (1 - x - y)_{n}} \end{array}

$(2, 1, - 1, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (3 n - x + \frac{(2 n)^{2} (n - x - y)}{(n + x) (2 n - 1 + y)}) \frac{(- 1)^{n - 1} (1 - x)_{n - 1}^{2} (1 + x)_{n} (1 + y)_{2 n - 1}}{(2 n)!^{2} (1 - x - y)_{n}} \end{array}

$(1, 2, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (3 n^{2} - 2 (x + y) n + x y) \frac{(1 - x, 1 - x, 1 - y, 1 - y)_{n - 1}}{n!^{2} (1 - x - y)_{2 n}} \end{array}

$(1, 1, - 1, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} (2 n - x) \frac{(1 - x, 1 - x, 1 + y)_{n - 1}}{n!^{2} (1 - x - y)_{n}} \end{array}

$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (1 - x, 1 - x - y, y, 2 x - y)$

$(1, 0, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 - x + y, 1 + x - y)_{n - 1}}{(1 - x, 1 - y)_{n}} \end{array}

$(0, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 - x, 1 + x - 2 y)_{n - 1}}{(1 - y, 1 - x - y)_{n}} \end{array}

$(1, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (3 n + x - 3 y) \frac{(1 - x + y, 1 + x - y, 1 + x - 2 y)_{n - 1}}{(1 - x - y)_{n} (1 - y)_{2 n}} \end{array}

$(1, 1, - 1, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} 2 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{(1 + x - y, 1 + x - 2 y)_{n - 1}}{(1 - x, 1 - x - y)_{n}} \end{array}

$(1, 2, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} 3 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 - 2 x + y, 1 + x - 2 y)_{n - 1}}{(1 - x - y)_{2 n}} \end{array}

$(2, 1, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (3 n - 3 x + y) \frac{(1 - x + y, 1 + x - y, 1 - 2 x + y)_{n - 1}}{(1 - x - y)_{n} (1 - x)_{2 n}} \end{array}

$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (1 - x + y, 1 - x - y, x, 2 x - y)$

$(1, 0, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 + x, 1 + y)_{n - 1}}{(1 - x + y, 1 + x - y)_{n}} \end{array}

$(0, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 - y, 1 + x - 2 y)_{n - 1}}{(1 - x - y, 1 + x - y)_{n}} \end{array}

$(1, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} ((2 n + x - y) (n - x - y) + (n + x) (n + y)) \frac{(1 + x, 1 + y, 1 - y, 1 + x - 2 y)_{n - 1}}{(1 - x + y, 1 - x - y)_{n} (1 + x - y)_{2 n}} \end{array}

$(1, 1, - 1, 0)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} (2 n - y) \frac{(1 - x, 1 + x, 1 + x - 2 y)_{n - 1}}{(1 - x + y, 1 + x - y, 1 - x - y)_{n}} \end{array}

$(1, 2, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} (3 n^{2} - 2 (x + y) n + x^{2} - x y + y^{2}) \frac{(1 - x, 1 - y, 1 + x - 2 y, 1 - 2 x + y)_{n - 1}}{(1 - x + y, 1 + x - y)_{n} (1 - x - y)_{2 n}} \end{array}

投稿日：2022年2月22日

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ℝ⁴上の WZ method 計算結果まとめ

$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1-x,1,x-y,0)$
$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1-x,1-x-y,x,x)$
$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1,1-x-y,x,y)$
$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1-x,1-x-y,y,2x-y)$
$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1-x+y,1-x-y,x,2x-y)$

ℝ⁴上の WZ method 計算結果まとめ

(a1,a2,a3,a4)=(1−x,1,x−y,0)

(1,0,0,0)ずつ進む場合

(0,1,0,0)ずつ進む場合

(1,1,0,0)ずつ進む場合

(2,1,0,0)ずつ進む場合

(1,2,0,0)ずつ進む場合

(2,1,−1,0)ずつ進む場合

(2,1,−1,−1)ずつ進む場合

(1,2,−1,−1)ずつ進む場合

(2,2,−1,−1)ずつ進む場合

(1,2,−1,0)ずつ進む場合

(1,2,0,−1)ずつ進む場合

(1,1,−1,0)ずつ進む場合

(1,1,−1,−1)ずつ進む場合

(1,1,0,−1)ずつ進む場合

(2,2,0,−1)ずつ進む場合

(a1,a2,a3,a4)=(1−x,1−x−y,x,x)

(1,0,0,0)ずつ進む場合

(0,1,0,0)ずつ進む場合

(1,1,0,0)ずつ進む場合

(2,1,0,0)ずつ進む場合

(1,2,0,0)ずつ進む場合

(2,1,−1,0)ずつ進む場合

(2,1,−1,−1)ずつ進む場合

(1,2,−1,−1)ずつ進む場合

(2,2,−1,−1)ずつ進む場合

(1,2,−1,0)ずつ進む場合

(1,1,−1,0)ずつ進む場合

(a1,a2,a3,a4)=(1,1−x−y,x,y)

(1,0,0,0)ずつ進む場合

(0,1,0,0)ずつ進む場合

(1,1,0,0)ずつ進む場合

(2,1,−1,0)ずつ進む場合

(1,2,−1,−1)ずつ進む場合

(1,1,−1,0)ずつ進む場合

(a1,a2,a3,a4)=(1−x,1−x−y,y,2x−y)

(1,0,0,0)ずつ進む場合

(0,1,0,0)ずつ進む場合

(1,1,0,0)ずつ進む場合

(1,1,−1,0)ずつ進む場合

(1,2,−1,−1)ずつ進む場合

(2,1,−1,−1)ずつ進む場合

(a1,a2,a3,a4)=(1−x+y,1−x−y,x,2x−y)

(1,0,0,0)ずつ進む場合

(0,1,0,0)ずつ進む場合

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$(1, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

$(2, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

$(1, 2, 0, 0)$ ずつ進む場合

$(2, 1, - 1, 0)$ ずつ進む場合

$(2, 1, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

$(1, 2, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

$(2, 2, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

$(1, 2, - 1, 0)$ ずつ進む場合

$(1, 2, 0, - 1)$ ずつ進む場合

$(1, 1, - 1, 0)$ ずつ進む場合

$(1, 1, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

$(1, 1, 0, - 1)$ ずつ進む場合

$(2, 2, 0, - 1)$ ずつ進む場合

$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (1 - x, 1 - x - y, x, x)$

$(1, 0, 0, 0)$ ずつ進む場合

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$(1, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

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$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (1, 1 - x - y, x, y)$

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$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (1 - x, 1 - x - y, y, 2 x - y)$

$(1, 0, 0, 0)$ ずつ進む場合

$(0, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

$(1, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

$(1, 1, - 1, 0)$ ずつ進む場合

$(1, 2, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

$(2, 1, - 1, - 1)$ ずつ進む場合

$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (1 - x + y, 1 - x - y, x, 2 x - y)$

$(1, 0, 0, 0)$ ずつ進む場合

$(0, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

$(1, 1, 0, 0)$ ずつ進む場合

$(1, 1, - 1, 0)$ ずつ進む場合

$(1, 2, - 1, - 1)$ ずつ進む場合