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ℝ⁴上の WZ method 計算結果まとめ

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 まず,WZ 4-tupleについて述べます。一般に

Definition.(x1,,xi,,xn)から(x1,,xi+1,,xn)への重みをFi(x1,,xn)とし,jkに対してFj(x1,,xn)Fk(x1,,xn)WZ-pairであるとき,

(F1(x1,,xn),,Fn(x1,,xn))

WZ n-tupleと呼ぶ。

という定義のもと,とくにn=4においては

WZ 4-tuple

H(i,j,k,l)=(a1+a3)i+k(a1+a4)i+l(a2+a3)j+k(a2+a4)j+l(a1)i(a2)j(a3)k(a4)l(1+a1+a2+a3+a4)i+j+k+l+1

とし

F1(i,j,k,l)=H(i,j,k,l)a1+i,F2(i,j,k,l)=H(i,j,k,l)a2+j,F3(i,j,k,l)=H(i,j,k,l)a3+k,F4(i,j,k,l)=H(i,j,k,l)a4+l

とすると,
(F1(i,j,k,l), F2(i,j,k,l), F3(i,j,k,l), F4(i,j,k,l))

WZ 4-tupleである。

という表示があります。
 始点Xから終点Yまでの任意の経路のとり方に対して,その経路の重みの和が不変であることから,Yを無限遠点とすることで無限級数の等式を得ることができます。ただし,異なる経路の端どうしを結ぶ経路(connecting path)の重みの和が収束する必要があります。実は,pr, ps, qr, qsを満たす任意の非負整数p,q,r,sに対して,(p,q,r,s)ずつ進んだ経路の重みの和は収束し,かつ一致します(connecting pathの重みは0に収束します)。
 i,j,k,lのいずれかを固定することで,WZ 3-tuple, WZ 2-tuple(WZ-pair)とみなすことができます。また,この記事ではr<0に対して1(0)r=(1)r(r)!とみなすことにします。
 以下,始点を(0,0,0,0)として具体的な和をまとめます。

(a1,a2,a3,a4)=(1x,1,xy,0)

(1,0,0,0)ずつ進む場合

n=11(nx)(ny)

(0,1,0,0)ずつ進む場合

n=1(1+xy)n1n(1y)n

(1,1,0,0)ずつ進む場合

n=1(2nynx+nyn)(1y,1+xy)n1(1y)2n

(2,1,0,0)ずつ進む場合

n=1(3ny2nx+2nyn+(3n1y)(3ny)(2n1x)(2n1y))(1+xy)n1(1y)2n1(1y)3n

(1,2,0,0)ずつ進む場合

n=1(3n1ynx+ny2n1+(ny)(2n1+xy)2n(3ny))(1y)n1(1+xy)2n2(1y)3n1

(2,1,1,0)ずつ進む場合

n=1(1n+12ny+2nx(nx)(2n1y))(1)n1(1x)n(1+xy)n1(1x)2n

(2,1,1,1)ずつ進む場合

n=1(2nxny+nxn)(1x,1x+y)n1(1x)2n

(1,2,1,1)ずつ進む場合

n=13nxyn(2nn)(1+xy,1x+y)n1(1x,1y)n

(2,2,1,1)ずつ進む場合

n=1(9n2xyn+2(2n1)(3nxy)(nx)(ny))(1x,1y)n(1+xy,1x+y)n1(2nn)(1x,1y)2n

(1,2,1,0)ずつ進む場合

n=1(2(2n1)(2ny)ny+2n+1xy)(1)n1(1y)n(1+xy)2n2n(2nn)(1x)n(1y)2n

(1,2,0,1)ずつ進む場合

n=1(2nynx+1y2n1+n+xy2n)(1)n1(1+xy,1x+y)n1(1y)2n

(1,1,1,0)ずつ進む場合

n=1(1n+1ny)(1)n1(1+xy)n1(1x)n

(1,1,1,1)ずつ進む場合

n=1(1x+y)n1n(1x)n

(1,1,0,1)ずつ進む場合

n=1(1n+1nx)(1)n1(1x+y)n1(1y)n

(2,2,0,1)ずつ進む場合

n=1(n+xyn+n+1y2n1+3ny2nx+(3ny)(3n1y)(ny)(2n1x))(1)n1(1y)n(1x+y,1+xy)n1(1y)3n

(a1,a2,a3,a4)=(1x,1xy,x,x)

(1,0,0,0)ずつ進む場合

n=1(n1)!2(1x,1y)n

(0,1,0,0)ずつ進む場合

n=11ny(1y)n1(1xy)n

(1,1,0,0)ずつ進む場合

n=1(1+(2ny)(nxy)n2)n!2(1y)n12(1x,1xy)n(1y)2n

(2,1,0,0)ずつ進む場合

n=1(1+(2n)2(nxy)(3ny)+(2nx)(3n1y)(2n1)2)(2n1)!2(1y)n12(1xy)n1(1x)2n(1y)3n1

(1,2,0,0)ずつ進む場合

n=1(1+(2n1xy)(3n1y)n2+(2n1y)2(2nxy)(3ny))n!2(1y)2n22(1x)n(1xy)2n1(1y)3n1

(2,1,1,0)ずつ進む場合

n=1(3nxy2n+(nxy)(2nx)(2ny)2n2(2n1))n!(2n)!(1x,1y)n1(1xy)n(1x,1y)2n

(2,1,1,1)ずつ進む場合

n=1(1+(2nx)(nxy)n2)n!2(1x)n12(1y,1xy)n(1x)2n

(1,2,1,1)ずつ進む場合

n=1(1(nx)2+1(nx)(ny)+1(ny)2)(1x,1y)n(1xy)2n

(2,2,1,1)ずつ進む場合

n=1(1+(2nx)(2ny)n2+n2+2nxyxy(2n1xy)(2nxy))n!2(1x,1y)n12(1xy)2n2(1x,1y)2n

(1,2,1,0)ずつ進む場合

n=1(1(2ny)(2n1y)+ny(2ny)(2nxy)+2n1xyn(2n1y))(1)n1nxn!(1y)n1(1xy)2n1

(1,1,1,0)ずつ進む場合

n=11n(1nx+1ny)(1)n1n!(1xy)n

(a1,a2,a3,a4)=(1,1xy,x,y)

(1,0,0,0)ずつ進む場合

n=1(1+x,1+y)n1n!2

(0,1,0,0)ずつ進む場合

n=1(1x,1y)n1n!(1xy)n

(1,1,0,0)ずつ進む場合

n=1(2n(nxy)+(n+x)(n+y))(1x,1+x,1y,1+y)n1n!(2n)!(1xy)n

(2,1,1,0)ずつ進む場合

n=1(3nx+(2n)2(nxy)(n+x)(2n1+y))(1)n1(1x)n12(1+x)n(1+y)2n1(2n)!2(1xy)n

(1,2,1,1)ずつ進む場合

n=1(3n22(x+y)n+xy)(1x,1x,1y,1y)n1n!2(1xy)2n

(1,1,1,0)ずつ進む場合

n=1(1)n1(2nx)(1x,1x,1+y)n1n!2(1xy)n

(a1,a2,a3,a4)=(1x,1xy,y,2xy)

(1,0,0,0)ずつ進む場合

n=1(1x+y,1+xy)n1(1x,1y)n

(0,1,0,0)ずつ進む場合

n=1(1x,1+x2y)n1(1y,1xy)n

(1,1,0,0)ずつ進む場合

n=1(3n+x3y)(1x+y,1+xy,1+x2y)n1(1xy)n(1y)2n

(1,1,1,0)ずつ進む場合

2n=1(1)n1(1+xy,1+x2y)n1(1x,1xy)n

(1,2,1,1)ずつ進む場合

3n=1(12x+y,1+x2y)n1(1xy)2n

(2,1,1,1)ずつ進む場合

n=1(3n3x+y)(1x+y,1+xy,12x+y)n1(1xy)n(1x)2n

(a1,a2,a3,a4)=(1x+y,1xy,x,2xy)

(1,0,0,0)ずつ進む場合

n=1(1+x,1+y)n1(1x+y,1+xy)n

(0,1,0,0)ずつ進む場合

n=1(1y,1+x2y)n1(1xy,1+xy)n

(1,1,0,0)ずつ進む場合

n=1((2n+xy)(nxy)+(n+x)(n+y))(1+x,1+y,1y,1+x2y)n1(1x+y,1xy)n(1+xy)2n

(1,1,1,0)ずつ進む場合

n=1(1)n1(2ny)(1x,1+x,1+x2y)n1(1x+y,1+xy,1xy)n

(1,2,1,1)ずつ進む場合

n=1(3n22(x+y)n+x2xy+y2)(1x,1y,1+x2y,12x+y)n1(1x+y,1+xy)n(1xy)2n
投稿日:2022222
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  1. (a1,a2,a3,a4)=(1x,1,xy,0)
  2. (a1,a2,a3,a4)=(1x,1xy,x,x)
  3. (a1,a2,a3,a4)=(1,1xy,x,y)
  4. (a1,a2,a3,a4)=(1x,1xy,y,2xy)
  5. (a1,a2,a3,a4)=(1x+y,1xy,x,2xy)