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高校数学解説
ℝ⁴上の WZ method 計算結果まとめ
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$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}}
\newcommand{BE}[0]{\begin{equation}}
\newcommand{bl}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{D}[0]{\displaystyle}
\newcommand{EA}[0]{\end{align*}}
\newcommand{EE}[0]{\end{equation}}
\newcommand{h}[0]{\boldsymbol{h}}
\newcommand{k}[0]{\boldsymbol{k}}
\newcommand{L}[0]{\left}
\newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}}
\newcommand{m}[0]{\boldsymbol{m}}
\newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}}
\newcommand{R}[0]{\right}
$$
まず，${\rm WZ~}{4\textrm{-tuple}}$について述べます。一般に
${\bf Definition.}\quad (x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_n)$から$(x_1,\cdots,x_i+1,\cdots,x_n)$への重みを$F_i(x_1,\cdots,x_n)$とし，$j\neq k$に対して$F_j(x_1,\cdots,x_n)$と$F_k(x_1,\cdots,x_n)$が$\textrm{WZ-pair}$であるとき，
$\BA\D\\
\big(F_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,F_n(x_1,\cdots,x_n)\big)
\EA$
を${\rm WZ~}{n\textrm{-tuple}}$と呼ぶ。
という定義のもと，とくに$n=4$においては
${\bf WZ~}{\bf 4\textrm{-}tuple}$
$\BA\D\\
H(i,j,k,l)=\frac{(a_1+a_3)_{i+k}(a_1+a_4)_{i+l}(a_2+a_3)_{j+k}(a_2+a_4)_{j+l}}{(a_1)_i(a_2)_j(a_3)_k(a_4)_l(-1+a_1+a_2+a_3+a_4)_{i+j+k+l+1}}
\EA$
とし
$\BA\D\\
F_1(i,j,k,l)=\frac{H(i,j,k,l)}{a_1+i},\quad
F_2(i,j,k,l)=\frac{H(i,j,k,l)}{a_2+j},\quad
F_3(i,j,k,l)=-\frac{H(i,j,k,l)}{a_3+k},\quad
F_4(i,j,k,l)=-\frac{H(i,j,k,l)}{a_4+l}
\EA$
とすると，
$\BA\D\\
(F_1(i,j,k,l),~F_2(i,j,k,l),~F_3(i,j,k,l),~F_4(i,j,k,l))
\EA$
は${\rm WZ~}{4\textrm{-tuple}}$である。
という表示があります。
始点$X$から終点$Y$までの任意の経路のとり方に対して，その経路の重みの和が不変であることから，$Y$を無限遠点とすることで無限級数の等式を得ることができます。ただし，異なる経路の端どうしを結ぶ経路(connecting path)の重みの和が収束する必要があります。実は，$p\ge r,~p\ge s,~q\ge r,~q\ge s$を満たす任意の非負整数$p,q,r,s$に対して，$(p,q,-r,-s)$ずつ進んだ経路の重みの和は収束し，かつ一致します(connecting pathの重みは$0$に収束します)。
$i,j,k,l$のいずれかを固定することで，${\rm WZ~}{3\textrm{-tuple}},~{\rm WZ~}{2\textrm{-tuple}}\,(\textrm{WZ-pair})$とみなすことができます。また，この記事では$r<0$に対して$\dfrac{1}{(0)_r}=(-1)^r(-r)!$とみなすことにします。
以下，始点を$(0,0,0,0)$として具体的な和をまとめます。
$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1-x,1,x-y,0)$
$(1,0,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-x)(n-y)}
\EA$
$(0,1,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(1+x-y)_{n-1}}{n(1-y)_n}
\EA$
$(1,1,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{2n-y}{n-x}+\frac{n-y}{n}\R)\frac{(1-y,1+x-y)_{n-1}}{(1-y)_{2n}}
\EA$
$(2,1,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{3n-y}{2n-x}+\frac{2n-y}{n}+\frac{(3n-1-y)(3n-y)}{(2n-1-x)(2n-1-y)}\R)\frac{(1+x-y)_{n-1}(1-y)_{2n-1}}{(1-y)_{3n}}
\EA$
$(1,2,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{3n-1-y}{n-x}+\frac{n-y}{2n-1}+\frac{(n-y)(2n-1+x-y)}{2n(3n-y)}\R)\frac{(1-y)_{n-1}(1+x-y)_{2n-2}}{(1-y)_{3n-1}}
\EA$
$(2,1,-1,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{1}{n}+\frac{1}{2n-y}+\frac{2n-x}{(n-x)(2n-1-y)}\R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x)_n(1+x-y)_{n-1}}{(1-x)_{2n}}
\EA$
$(2,1,-1,-1)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{2n-x}{n-y}+\frac{n-x}{n}\R)\frac{(1-x,1-x+y)_{n-1}}{(1-x)_{2n}}
\EA$
$(1,2,-1,-1)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{3n-x-y}{n\binom{2n}{n}}\frac{(1+x-y,1-x+y)_{n-1}}{(1-x,1-y)_n}
\EA$
$(2,2,-1,-1)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{9n-2-x-y}{n}+\frac{2(2n-1)(3n-x-y)}{(n-x)(n-y)}\R)\frac{(1-x,1-y)_n(1+x-y,1-x+y)_{n-1}}{\binom{2n}{n}(1-x,1-y)_{2n}}
\EA$
$(1,2,-1,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{2(2n-1)(2n-y)}{n-y}+2n+1-x-y \R)\frac{(-1)^{n-1}(1-y)_n(1+x-y)_{2n-2}}{n\binom{2n}{n}(1-x)_n(1-y)_{2n}}
\EA$
$(1,2,0,-1)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{2n-y}{n-x}+\frac{1-y}{2n-1}+\frac{n+x-y}{2n}\R)\frac{(-1)^{n-1}(1+x-y,1-x+y)_{n-1}}{(1-y)_{2n}}
\EA$
$(1,1,-1,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-y}\R)\frac{(-1)^{n-1}(1+x-y)_{n-1}}{(1-x)_n}
\EA$
$(1,1,-1,-1)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(1-x+y)_{n-1}}{n(1-x)_n}
\EA$
$(1,1,0,-1)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-x}\R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x+y)_{n-1}}{(1-y)_n}
\EA$
$(2,2,0,-1)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{n+x-y}{n}+\frac{n+1-y}{2n-1}+\frac{3n-y}{2n-x}+\frac{(3n-y)(3n-1-y)}{(n-y)(2n-1-x)}\R)\frac{(-1)^{n-1}(1-y)_n(1-x+y,1+x-y)_{n-1}}{(1-y)_{3n}}
\EA$
$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1-x,1-x-y,x,x)$
$(1,0,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(n-1)!^2}{(1-x,1-y)_n}
\EA$
$(0,1,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n-y}\frac{(1-y)_{n-1}}{(1-x-y)_n}
\EA$
$(1,1,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(1+\frac{(2n-y)(n-x-y)}{n^2}\R)\frac{n!^2(1-y)_{n-1}^2}{(1-x,1-x-y)_n(1-y)_{2n}}
\EA$
$(2,1,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(1+\frac{(2n)^2}{(n-x-y)(3n-y)}+\frac{(2n-x)(3n-1-y)}{(2n-1)^2}\R)\frac{(2n-1)!^2(1-y)_{n-1}^2}{(1-x-y)_{n-1}(1-x)_{2n}(1-y)_{3n-1}}
\EA$
$(1,2,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(1+\frac{(2n-1-x-y)(3n-1-y)}{n^2}+\frac{(2n-1-y)^2}{(2n-x-y)(3n-y)}\R)\frac{n!^2(1-y)_{2n-2}^2}{(1-x)_n(1-x-y)_{2n-1}(1-y)_{3n-1}}
\EA$
$(2,1,-1,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{3n-x-y}{2n}+\frac{(n-x-y)(2n-x)(2n-y)}{2n^2(2n-1)}\R)\frac{n!(2n)!(1-x,1-y)_{n-1}}{(1-x-y)_n(1-x,1-y)_{2n}}
\EA$
$(2,1,-1,-1)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(1+\frac{(2n-x)(n-x-y)}{n^2}\R)\frac{n!^2(1-x)_{n-1}^2}{(1-y,1-x-y)_n(1-x)_{2n}}
\EA$
$(1,2,-1,-1)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{1}{(n-x)^2}+\frac{1}{(n-x)(n-y)}+\frac{1}{(n-y)^2}\R)\frac{(1-x,1-y)_n}{(1-x-y)_{2n}}
\EA$
$(2,2,-1,-1)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(1+\frac{(2n-x)(2n-y)}{n^2}+\frac{n^2+2n-x-y-xy}{(2n-1-x-y)(2n-x-y)}\R)\frac{n!^2(1-x,1-y)_{n-1}^2}{(1-x-y)_{2n-2}(1-x,1-y)_{2n}}
\EA$
$(1,2,-1,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{1}{(2n-y)(2n-1-y)}+\frac{n-y}{(2n-y)(2n-x-y)}+\frac{2n-1-x-y}{n(2n-1-y)}\R)\frac{(-1)^{n-1}}{n-x}\frac{n!(1-y)_{n-1}}{(1-x-y)_{2n-1}}
\EA$
$(1,1,-1,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}n{\L(\frac{1}{n-x}+\frac{1}{n-y}\R)}\frac{(-1)^{n-1}n!}{(1-x-y)_n}
\EA$
$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1,1-x-y,x,y)$
$(1,0,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(1+x,1+y)_{n-1}}{n!^2}
\EA$
$(0,1,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(1-x,1-y)_{n-1}}{n!(1-x-y)_n}
\EA$
$(1,1,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty (2n(n-x-y)+(n+x)(n+y))\frac{(1-x,1+x,1-y,1+y)_{n-1}}{n!(2n)!(1-x-y)_n}
\EA$
$(2,1,-1,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \L(3n-x+\frac{(2n)^2(n-x-y)}{(n+x)(2n-1+y)}\R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x)_{n-1}^2(1+x)_n(1+y)_{2n-1}}{(2n)!^2(1-x-y)_n}
\EA$
$(1,2,-1,-1)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty (3n^2-2(x+y)n+xy)\frac{(1-x,1-x,1-y,1-y)_{n-1}}{n!^2(1-x-y)_{2n}}
\EA$
$(1,1,-1,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}(2n-x)\frac{(1-x,1-x,1+y)_{n-1}}{n!^2(1-x-y)_n}
\EA$
$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1-x,1-x-y,y,2x-y)$
$(1,0,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(1-x+y,1+x-y)_{n-1}}{(1-x,1-y)_n}
\EA$
$(0,1,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(1-x,1+x-2y)_{n-1}}{(1-y,1-x-y)_n}
\EA$
$(1,1,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty (3n+x-3y)\frac{(1-x+y,1+x-y,1+x-2y)_{n-1}}{(1-x-y)_n(1-y)_{2n}}
\EA$
$(1,1,-1,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
2\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(1+x-y,1+x-2y)_{n-1}}{(1-x,1-x-y)_n}
\EA$
$(1,2,-1,-1)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
3\sum_{n=1}^\infty \frac{(1-2x+y,1+x-2y)_{n-1}}{(1-x-y)_{2n}}
\EA$
$(2,1,-1,-1)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty (3n-3x+y)\frac{(1-x+y,1+x-y,1-2x+y)_{n-1}}{(1-x-y)_n(1-x)_{2n}}
\EA$
$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1-x+y,1-x-y,x,2x-y)$
$(1,0,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(1+x,1+y)_{n-1}}{(1-x+y,1+x-y)_n}
\EA$
$(0,1,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(1-y,1+x-2y)_{n-1}}{(1-x-y,1+x-y)_n}
\EA$
$(1,1,0,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty ((2n+x-y)(n-x-y)+(n+x)(n+y))\frac{(1+x,1+y,1-y,1+x-2y)_{n-1}}{(1-x+y,1-x-y)_n(1+x-y)_{2n}}
\EA$
$(1,1,-1,0)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}(2n-y)\frac{(1-x,1+x,1+x-2y)_{n-1}}{(1-x+y,1+x-y,1-x-y)_n}
\EA$
$(1,2,-1,-1)$ずつ進む場合
$\BA\D\\
\sum_{n=1}^\infty (3n^2-2(x+y)n+x^2-xy+y^2)\frac{(1-x,1-y,1+x-2y,1-2x+y)_{n-1}}{(1-x+y,1+x-y)_n(1-x-y)_{2n}}
\EA$
投稿日：2022年2月22日
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