log_4(2022)の近似値(2022年京大数学第1問)

指針

$4.4<{\log }_{4}2022$の両辺を2倍すると$8.8<{\log }_{2}2022$となる。$0.8\times 1200=960$であるから、$7$倍音が約$969$セントであることを思い出す。

解答

$${\log }_{4}2022<{\log }_{4}2048={\log }_4{2}^{11}={\log }_4{4}^{5.5}=5.5$$
である。また、
$$7^5=16807>16384$$
であるから、この両辺の底を$2$とする対数を取り
$$5{\log }_{2}7>14\therefore {\log }_{2}7>2.8,{\log }_{4}7=\frac{{\log }_{2}7}{{\log }_{2}4}>1.4$$
を得る。したがって、
$${\log }_{4}2022>{\log }_{4}1792={\log }_4(4^4\cdot 7)>4+1.4=5.4$$
であるから${\log }_{4}2022<5.5$とあわせて題意が示された。

講評

大学入試では基本となる3つの音(基音、$3$倍音、$5$倍音)だけでなく$7$倍音系の問題が出ることもある。受験生諸君においては$7$の和音(セブンスコード)についても復習されたい。