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log_4(2022)の近似値(2022年京大数学第1問)

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$ 5.4 < \log_4{2022} < 5.5 $であることを示せ.ただし,$ 0.301 < \log_{10}2 < 0.3011 $であることは用いてよい. (京都大 '22)

指針

$ 4.4 < \log_4{2022} $の両辺を2倍すると$ 8.8 < \log_2{2022} $となる。$ 0.8 \times 1200 = 960 $であるから、$ 7 $倍音が約$ 969 $セントであることを思い出す。

解答

$$ \log_4{2022} < \log_4{2048} = \log_4{2^{11}} = \log_4{4^{5.5}} = 5.5 $$
である。また、
$$ 7^5 = 16807 > 16384 $$
であるから、この両辺の底を$ 2 $とする対数を取り
$$ 5\log_2{7} > 14 \hspace{4mm} \therefore \log_2{7} > 2.8, \log_4{7} = \frac{\log_2{7}}{\log_2{4}} > 1.4 $$
を得る。したがって、
$$ \log_4{2022} > \log_4{1792} = \log_4{\left(4^4 \cdot 7\right)} > 4 + 1.4 = 5.4 $$
であるから$ \log_4{2022} < 5.5 $とあわせて題意が示された。

講評

大学入試では基本となる3つの音(基音、$ 3 $倍音、$ 5 $倍音)だけでなく$ 7 $倍音系の問題が出ることもある。受験生諸君においては$ 7 $の和音(セブンスコード)についても復習されたい。

投稿日:2022226

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nayuta_ito
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