4次関数の複接線

$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e(a\ne 0)$とします。
４次関数$y=f(x)$の複接線を求めます。

$t=x+p$とおいて$f(x)$を$t$の４次式で表す。

$$f(x)=\alpha t^4+\beta t^3+\gamma t^2+\delta t+\epsilon$$
とおく。$x=-p$のとき$t=0$であるから、
$$f(-p)=\epsilon$$
$\frac{dt}{dx}=1$より、$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=\frac{df}{dt}$であるから
$$f^{\prime }(x)=4\alpha t^3+3\beta t^2+2\gamma t+\delta$$
よって、
$$f^{\prime }(-p)=\delta$$
同様にして
$$f^{″}(x)=12\alpha t^2+6\beta t+2\gamma ,f^{″}(-p)=2\gamma$$
$$f^{‴}(x)=24\alpha t+6\beta ,f^{‴}(-p)=6\beta$$
$$f^{⁗}(x)=24\alpha ,f^{⁗}(-p)=24\alpha$$
が求まるので、
$$f(x)=\frac{f^{⁗}(-p)}{24}{t}^4+\frac{f^{‴}(-p)}{6}{t}^3+\frac{f^{″}(-p)}{2}{t}^2+f^{\prime }(-p)t+f(-p)\cdots (A)$$
となります。
ちなみに
$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=4a{x}^3+2b{x}^2+2cx+d \\ f\prime \prime (x)=12a{x}^2+6bx+2c \\ {f}^{‴}(x)=24ax+6b \\ {f}^{⁗}(x)=24a \end{gathered}$$です。

$\beta =0$にする

$f^{‴}(x)=24ax+6b$より$f^{‴}(x)=0$となるのは$x=-\frac{b}{4a}(=-kとおく）$のときです。これと$a=\alpha$であることから,(A)に$p=-k$を代入して
$$f(x)=a{t}^4+\gamma t^2+\delta t+\epsilon \cdots (B)$$$$ここで、t=x+k,\gamma =\frac{f^{″}(k)}{2},\delta =f^{\prime }(k),\epsilon =f(k)$$です。

今、４次式で$(x+\frac{b}{4a})$について整理しましたが、２次式で$(x+\frac{b}{2a})$について整理するのが平方完成で、３次式で$(x+\frac{b}{3a})$について整理するのが立方完成です。いずれも2番目に次数が大きい項の係数が0になります。

複接線を求める。

式(B)は次のように変形できます。
$$f(x)=a{(t^2+\frac{\gamma }{2a})}^2+\delta t+\epsilon -\frac{{\gamma }^2}{4a^2}$$
よって
$$f(x)-(\delta t+\epsilon -\frac{{\gamma }^2}{4a^2})=a{(t^2+\frac{\gamma }{2a})}^2$$
$\frac{\gamma }{2a}<0$すなわち$a\gamma <0$のとき、$a{(t^2+\frac{\gamma }{2a})}^2$は異なる２つの２重解をもつので、
$y=\delta t+\epsilon -\frac{{\gamma }^2}{4a^2}$は$y=f(x)$と異なる２点で接します。つまり複接線になります。

ここで
$$a{t}^4+\gamma t^2+\delta t+\epsilon =a(t^2+pt+q{)}^2+mt+n$$とすると
右辺の３次の項は$2p{t}^3$だから、$p=0$でなければならない。
ゆえに右辺の２次の項は$2q{t}^2$だから、$q=\frac{\gamma }{2}$でなければならない。
よって$(m,n,p,q)$は一意に定まる。

したがって、$y=f(x)$が複接線をもつための必要十分条件は$a\gamma <0$で、そのときの複接線は$y=\delta t+\epsilon -\frac{{\gamma }^2}{4a^2}$になります。