4次関数の複接線

$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\quad (a\neq 0)$とします。
４次関数$y=f(x)$の複接線を求めます。

$t=x+p$とおいて$f(x)$を$t$の４次式で表す。

$$ f(x)=\alpha t^4+\beta t^3+\gamma t^2+\delta t+\varepsilon$$
とおく。$x=-p$のとき$t=0$であるから、
$$　f(-p)=\varepsilon$$
$\frac{dt}{dx}=1$より、$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}=\frac{df}{dt}$であるから
$$ f'(x)=4\alpha t^3+3\beta t^2+2\gamma t+\delta $$
よって、
$$　f'(-p)=\delta$$
同様にして
$$ f''(x)=12\alpha t^2+6\beta t+2\gamma,\quad f''(-p)=2\gamma$$
$$ f'''(x)=24\alpha t+6\beta,\quad f'''(-p)=6\beta$$
$$ f''''(x)=24\alpha,\quad f''''(-p)=24\alpha$$
が求まるので、
$$ f(x)=\frac{f''''(-p)}{24}t^4+\frac{f'''(-p)}{6}t^3+\frac{f''(-p)}{2}t^2+f'(-p)t+f(-p)\cdots (A)$$
となります。
ちなみに
$$ f'(x)=4ax^3+2bx^2+2cx+d\\ f′′(x)=12ax^2+6bx+2c\\f'''(x)=24ax+6b\\f''''(x)=24a$$です。

$\beta=0$にする

$f'''(x)=24ax+6b$より$f'''(x)=0$となるのは$x=-\frac{b}{4a}(=-kとおく）$のときです。これと$a=\alpha$であることから,(A)に$p=-k$を代入して
$$ f(x)=at^4+\gamma t^2+\delta t+\varepsilon\cdots (B)$$$$ここで、t=x+k,\gamma=\frac{f''(k)}{2},\delta=f'(k),\varepsilon=f(k)$$です。

今、４次式で$(x+\frac{b}{4a})$について整理しましたが、２次式で$(x+\frac{b}{2a})$について整理するのが平方完成で、３次式で$(x+\frac{b}{3a})$について整理するのが立方完成です。いずれも2番目に次数が大きい項の係数が0になります。

複接線を求める。

式(B)は次のように変形できます。
$$ f(x)=a\left(t^2+\frac{\gamma}{2a}\right)^2+\delta t+\varepsilon-\frac{\gamma^2}{4a^2}$$
よって
$$ f(x)-\left(\delta t+\varepsilon-\frac{\gamma^2}{4a^2}\right)=a\left(t^2+\frac{\gamma}{2a}\right)^2$$
$\frac{\gamma}{2a}<0$すなわち$a\gamma <0$のとき、$a\left(t^2+\frac{\gamma}{2a}\right)^2$は異なる２つの２重解をもつので、
$y=\delta t+\varepsilon-\frac{\gamma^2}{4a^2}$は$y=f(x)$と異なる２点で接します。つまり複接線になります。

ここで
$$　at^4+\gamma t^2+\delta t+\varepsilon=a(t^2+pt+q)^2+mt+n$$とすると
右辺の３次の項は$2pt^3$だから、$p=0$でなければならない。
ゆえに右辺の２次の項は$2qt^2$だから、$q=\frac{\gamma}{2}$でなければならない。
よって$(m,n,p,q)$は一意に定まる。

したがって、$y=f(x)$が複接線をもつための必要十分条件は$a\gamma <0$で、そのときの複接線は$y=\delta t+\varepsilon-\frac{\gamma^2}{4a^2}$になります。