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高校数学解説
文献あり

偏差値が負になる例

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$n$人のテストの点が $x_1,x_2,\ldots,x_n$ だったとする。

偏差値

$i$人目の偏差値は
$$T_i=\frac{10(x_i -\mu_x)}{\sigma _x}+50 $$
で定義される。ここで$\mu _x =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n x_i$, $\sigma _x =\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n (x_i -\mu _x)^2}$ とする。

ある$M\in\{1,\ldots ,100\}$に対して、$x_1=0$かつ$2\leqslant i\leqslant n$なら$x_i=M$とする。
このとき$n=26$なら$T_1=0$であり、$n\geqslant 27$なら$T_1<0$である。

$\mu _x =\frac{n-1}{n}M$かつ$\sigma _x ^2 =\frac{(n-1)(M -\mu _x)^2 + ( -\mu _x)^2}{n}=\frac{(n-1)\left(\frac{M} {n}\right)^2 +\left(\frac{n-1}{n}M\right)^2}{n} =\frac{(n-1)M^2}{n^2} $なので
$$T_1=\frac{10(x_1 -\mu_x)}{\sigma _x}+50 = -\frac{-10\frac{n-1}{n}M}{\sqrt{n-1}\frac{M}{n}}+50 =-10\sqrt{n-1}+50$$
となる。あとは$n$に代入すればわかる。

参考文献

投稿日:202239

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usagiop
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