【ナンプレ】Naked(N国同盟)とHidden(隠れN国同盟)は同じ

ナンプレ,パズル,実用

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ナンプレのルール
・9×9のマスに1～9の数字を入れる
・3×3のブロックで区切られている
・行、列、ブロック内で同じ数字が入ってはいけない
・解は一つ

「ルールが分からない」という方は、実際に遊んでみて下さい。

タイトルにもある「N国同盟」「隠れN国同盟」とは、ナンプレの解き方の一つです。

N国同盟とは

	1	2	3	4	5	6	7	8
A	8	4	9	1,2	5	6	1,2	3
B		7
C

例えば、上の盤面を見てください。

同じ行、同じ列、同じブロックの数字は入らないので、A1には1,2,8のどれかが入ります。

ここで、A4,A7を見てみると、1,2のどちらかが入ります。

なので、A1には1,2は入らず、残った8が入る、という考え方です。

この場合、1,2と候補が二つあるので「二国同盟」と言われています。

英語では候補を洗い出すとと露わになる様子から「Naked Pairs」と言われています。

（N国同盟は、自然数NとN国党が由来です。N国党は名前だけ借りたので深い意味はありません。自分が勝手に名付けました。）

	1	2	3	4	5	6	7	8
A	8	4	9	1,2,3	5	6	1,2	2,3
B		7
C

上記の場合は候補が1,2,3と三つあるので「三国同盟」となります。

英語名は「Naked Triples」です。

	1	2	3	4	5	6	7	8
A	8	4	9	1	5	6	2	3
B		7
C

N=1の時は「単一候補」と言い、英語名は「Naked Single」となります。

日本語だと「国同盟」が消えてしまいますが、英語の場合は「Naked」が残ります。

今回の証明はN=1の場合も含むので、英語名の「Naked」の方が適当です。

隠れN国同盟とは

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
A	3,4,5	3,4,5	9	1,2	7	6	1,2,3	1,2,3	8
B	1		6
C	2	7	8	3

例えば、上の盤面を見てください。

A行の中で、4,5が使われているのはA1,A2のみなので、A1,A2に4,5のどちらかが入ります。

同じブロックには同じ数字は入らないので、C3には4,5は入らず、8が入ります。

この場合、4,5と候補が二つあるので「隠れニ国同盟」と言います。

4,5は、候補を全て洗い出しても他の候補に隠れて見えにくいのが特徴です。

英語では「Hidden Pairs」と言います。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
A	3,4,5,9	3,4,5,9	3,4,5,9	1,2	7	6	1,2,3	1,2,3	8
B	1		6
C	2	7	8	3

上記の場合は候補が4,5,9と三つあるので「隠れ三国同盟」となります。

英語名は「Hidden Triples」です。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
A	4	3,5	9	1,2	7	6	1,2,3	1,2,3	8
B	1		6
C	2	7		3

N=1の時は「隠れ単一候補」と言い、英語名は「Hidden Single」となります。

上記の場合、A行で5が使われているのはA2のみなので、A2=5が確定します。

N国同盟と隠れN国同盟の同値性　概要

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
A	3,4,5,9	3,4,5,9	3,4,5,9	1,2	7	6	1,2,3	1,2,3	8
B	1		6
C	2	7	8	3

上記はA1,A2,A3の「隠れ三国同盟」と言いましたが、A4,A7,A8の「三国同盟」として捉えてもよいです。

隠れN国同盟は見つけにくいため、隠れN国同盟は使わなくてもナンプレは解けるよという主張です。

ただし、隠れN国同盟を使用すると9-5=4なので、四国同盟が最大数となりますが、隠れN国同盟を使用しないと八国同盟が最大数となる、というリスクはあります。

N国同盟と隠れN国同盟の同値性　証明

※ここからは数学になるので、パズルだけを楽しみたい方は読み飛ばしても結構です。

共通　断りがなければ以下の定義とする

$U = {1, 2, . . ., 9} （行、列、ブロックのいずれか）$
$C_{1}, . . ., C_{9} \subset U, | C_{1} | = . . . = | C_{9} | = 1, s \neq t \Rightarrow C_{s} \neq C_{t} （行、列、ブロックの各マス）$
$x_{1}, . . ., x_{9} \in {1, 2, . . ., 9}, s \neq t \Rightarrow x_{s} \neq x_{t} （マスに入る数）$
$1 \leq n \leq 8 （何国同盟か）$
$1 \leq i_{1}, . . ., i_{9} \leq 9, s \neq t \Rightarrow i_{s} \neq i_{t}$

Naked

マスの数と、それらのマスが含む候補の総数が一致すればよいので

$\exists C_{i_{1}}, . . ., C_{i_{n}} \subset U s . t . ⋃_{k = 1}^{n} C_{i_{k}} = {x_{1}, . . ., x_{n}}$

$例： n = 3 のとき$
$\exists C_{2}, C_{3}, C_{5} \subset U s . t . C_{2} \cup C_{3} \cup C_{5} = {3, 4, 8}$
これは3,4,8の三国同盟である

Hidden

マスの数と、それらのマスだけが含む候補の総数が一致すればよいので

$\exists C_{i_{1}}, . . ., C_{i_{n}} \subset U s . t . x_{1}, . . ., x_{n} \in ⋃_{k = 1}^{n} C_{i_{k}}, x_{1}, . . ., x_{n} \notin ⋃_{k = n + 1}^{9} C_{i_{k}}$

$例： n = 4 のとき$
$\exists C_{2}, C_{4}, C_{6}, C_{8} \subset U s . t . 1, 6, 8, 9 \in C_{2} \cup C_{4} \cup C_{6} \cup C_{8},$
$1, 6, 8, 9 \notin C_{1} \cup C_{3} \cup C_{5} \cup C_{7} \cup C_{9}$
これは1,6,8,9の隠れ四国同盟である

方針
N国同盟が成立している時は、他のマスで隠れN国同盟が成立し、隠れN国同盟が成立している時は、他のマスでN国同盟が成立していることを示す。

Naked $\Rightarrow$ Hidden
$⋃_{k = 1}^{n} C_{i_{k}} = {x_{1}, . . ., x_{n}}, ⋃_{k = 1}^{9} C_{i_{k}} = {x_{1}, . . ., x_{9}}$ より
$x_{n + 1}, . . ., x_{9} \in ⋃_{k = n + 1}^{9} C_{i_{k}}, x_{n + 1}, . . ., x_{9} \notin ⋃_{k = 1}^{n} C_{i_{k}}$
$B_{j_{1}} = C_{i_{9}}, B_{j_{2}} = C_{i_{8}}, . . ., B_{j_{9}} = C_{i_{1}}$
$y_{1} = x_{9}, y_{2} = x_{8}, . . ., y_{9} = x_{1}$
とおき、 $m = 9 - n$ とすると
$B_{j_{m}} = C_{i_{n + 1}}, B_{j_{m + 1}} = C_{i_{n}}, y_{m} = x_{n + 1}$
よって
$y_{1}, . . ., y_{m} \in ⋃_{k = 1}^{m} B_{j_{k}}, y_{1}, . . ., y_{m} \notin ⋃_{k = m + 1}^{9} B_{j_{k}}$
これはHiddenの定義である

Hidden $\Rightarrow$ Naked
$x_{1}, . . ., x_{n} \notin ⋃_{k = n + 1}^{9} C_{i_{k}}, ⋃_{k = 1}^{9} C_{i_{k}} = {x_{1}, . . ., x_{9}}$ より
$⋃_{k = n + 1}^{9} C_{i_{k}} = {x_{1}, . . ., x_{9}} - {x_{1}, . . ., x_{n}} = {x_{n + 1}, . . ., x_{9}}$
Naked $\Rightarrow$ Hiddenの場合と同様の対応づけをすると
$⋃_{k = 1}^{m} B_{j_{k}} = {y_{1}, . . ., y_{m}}$
となり、これはNakedの定義である