約数に関する研究1

$d$が$n$の約数なら$\frac{n}{d}$も$n$の約数であるから
$$\prod _{d|n,d>0}{d}^x=\prod _{d|n,d>0}\frac{n^x}{d^x}$$
より
$$\prod _{d|n,d>0}{d}^x=\sqrt{\prod _{d|n,d>0}{d}^x\cdot \frac{n^x}{d^x}}$$
$$=\sqrt{\prod _{d|n,d>0}{n}^x}$$
$$=n^{\frac{d(n)}{2}x}$$

1. $\sigma (m)\sigma (n)\ge \sigma (mn)$を示す．
   $m$と$n$が互いに素であるとき$\sigma (m)\sigma (n)=\sigma (mn)$となるから，素数$p$と自然数$a,b$を用いて$m=p^a,n=p^b$となる場合で示せばよい．ここで$a\ge b$としても一般性を失わない．
   $\sigma (m)\sigma (n)<\sigma (mn)$と仮定すると
   $\sigma (m)\sigma (n)=\sigma (p^a)\sigma (p^b)=\frac{(p^{a+1}-1)(p^{b+1}-1)}{(p-1{)}^2}$
   $\sigma (mn)=\sigma (p^{a+b})=\frac{p^{a+b+1}-1}{p-1}$
   より
   $\frac{(p^{a+1}-1)(p^{b+1}-1)}{(p-1{)}^2}<\frac{p^{a+b+1}-1}{p-1}$
   となる．これを計算していくと
   $p^a<p^{a-b}+1$
   を得るが$p\ge 2$より矛盾する．よって
   $\sigma (m)\sigma (n)\ge \sigma (mn)$
2. $\sigma (mn)\ge m\sigma (n)$を示す．
   $m$と$n$が互いに素であるときは明らか(このとき$m=1$で等号が成立する)．よって素数$p$と自然数$a,b$を用いて$m=p^a,n=p^b$となる場合で示せばよい．
   $\sigma (mn)=\sigma (p^{a+b})=\frac{p^{a+b+1}-1}{p-1}$
   $m\sigma (n)=p^a\sigma (p^b)=\frac{p^{a+b+1}-p^a}{p-1}$
   となり
   $\sigma (mn)\ge m\sigma (n)$が成立する．

以上より，$\sigma (m)\sigma (n)\ge \sigma (mn)\ge m\sigma (n)$が示せた．

定理2と同様の手順で証明できるが,成立する$x$に範囲があることに気をつけなければならない．

異なる自然数$m,n(n<m)$が$\frac{\sigma (n)}{n}=\frac{\sigma (m)}{m}$を満たしていると仮定する．
$n$と$\sigma (n)$が互いに素であるとき，$\frac{\sigma (n)}{n}$は既約分数となり，ある整数$k$を用いて
$m=kn,\sigma (m)=k\sigma (n)$
とかける．すなわち
$\sigma (kn)=k\sigma (n)$
定理2より，$k=1$となるが$m\ne n$と矛盾する．

$n$が素数のとき，
$\sigma (n)\phi (n)=(n+1)(n-1)=n^2-1$
となり等号が成立する．よって2以上の自然数$n$で$\sigma (n)\phi (n)<n^2$が成立することを証明すればよく，$\sigma (n)\phi (n)$と$n^2$が乗法的関数であることから素数$p$と自然数$a$を用いて$n=p^a$となる場合で示せばよい．
$\sigma (n)\phi (n)=\sigma (p^a)\phi (p^a)=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}\cdot (p-1)p^{a-1}=p^{2a}-p^{a-1}\le p^{2a}-1<(p^a{)}^2=n^2$
となり2以上の自然数$n$で成立する．

証明には定理1と定理2を使う．
$$\prod _{d|n}\sigma (d)=\sigma (1)\underset{(d(n)-2)個}{\underbrace{\cdots \cdots \cdots }}\sigma (n)$$
であるから
$\sigma (1)\underset{(d(n)-2)個}{\underbrace{\cdots \cdots \cdots }}\sigma (n)\ge \sigma (n^{\frac{d(n)-2}{2}})\sigma (n)$
となる．よって
$$\prod _{d|n}\sigma (d)\ge \sigma (n^{\frac{d(n)-2}{2}})\sigma (n)$$
が示せた．