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約数に関する研究1

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$$\prod_{d\vert n,d\gt 0}d^x=n^{\frac{d(n)}{2}x}$$
$d(n)$$n$の正の約数の個数を表す.

$d$$n$の約数なら$\frac{n}{d}$$n$の約数であるから
$$\prod_{d\vert n,d\gt 0}d^x=\prod_{d\vert n,d\gt 0}\frac{n^x}{d^x}$$
より
$$ \prod_{d\vert n,d\gt 0}d^x=\sqrt{\prod_{d\vert n,d\gt 0}d^x\cdot\frac{n^x}{d^x}} $$
$$     =\sqrt{\prod_{d\vert n,d\gt 0}n^x} $$
$$     =n^{\frac{d(n)}{2}x} $$

自然数$m,n$に対し以下の不等式が成立する.
$\sigma(m)\sigma(n)\geq \sigma(mn)\geq m\sigma(n)$

  1. $\sigma(m)\sigma(n)\geq \sigma(mn)$を示す.
    $m$$n$が互いに素であるとき$\sigma(m)\sigma(n)=\sigma(mn)$となるから,素数$p$と自然数$a,b$を用いて$m=p^a,n=p^b$となる場合で示せばよい.ここで$a\geq b$としても一般性を失わない.
    $\sigma(m)\sigma(n)\lt \sigma(mn)$と仮定すると
    $\sigma(m)\sigma(n)=\sigma(p^a)\sigma(p^b)=\frac{(p^{a+1}-1)(p^{b+1}-1)}{(p-1)^2}$
    $\sigma(mn)=\sigma(p^{a+b})=\frac{p^{a+b+1}-1}{p-1}$
    より
    $\frac{(p^{a+1}-1)(p^{b+1}-1)}{(p-1)^2}\lt \frac{p^{a+b+1}-1}{p-1}$
    となる.これを計算していくと
    $p^a\lt p^{a-b}+1$
    を得るが$p\geq 2$より矛盾する.よって
    $\sigma(m)\sigma(n)\geq \sigma(mn)$
  2. $\sigma(mn)\geq m\sigma(n)$を示す.
    $m$$n$が互いに素であるときは明らか(このとき$m=1$で等号が成立する).よって素数$p$と自然数$a,b$を用いて$m=p^a,n=p^b$となる場合で示せばよい.
    $\sigma(mn)=\sigma(p^{a+b})=\frac{p^{a+b+1}-1}{p-1}$
    $m\sigma(n)=p^a\sigma(p^b)=\frac{p^{a+b+1}-p^a}{p-1}$
    となり
    $\sigma(mn)\geq m\sigma(n)$が成立する.

以上より,$\sigma(m)\sigma(n)\geq \sigma(mn)\geq m\sigma(n)$が示せた.

自然数$m,n$と0または1以上の実数$x$に対し以下の不等式が成立する.
$\sigma_x(m)\sigma_x(n)\geq \sigma_x(mn)\geq m^x\sigma_x(n)$

定理2と同様の手順で証明できるが,成立する$x$に範囲があることに気をつけなければならない.

自然数$n$$\sigma(n)$が互いに素であるとき,
$n$$\frac{\sigma(n)}{n}$は一対一対応する.

異なる自然数$m,n \ (n\lt m)$$\frac{\sigma(n)}{n}=\frac{\sigma(m)}{m}$を満たしていると仮定する.
$n$$\sigma(n)$が互いに素であるとき,$\frac{\sigma(n)}{n}$は既約分数となり,ある整数$k$を用いて
$m=kn,\sigma(m)=k\sigma(n)$
とかける.すなわち
$\sigma(kn)=k\sigma(n)$
定理2より,$k=1$となるが$m\neq n$と矛盾する.

2以上の自然数$n$に対し以下の不等式が成立する.
$\sigma(n) \varphi(n) \leq n^2-1$
$\varphi(n)$はオイラー関数,等号成立は$n$が素数のときである.

$n$が素数のとき,
$\sigma(n)\varphi(n)=(n+1)(n-1)=n^2-1$
となり等号が成立する.よって2以上の自然数$n$$\sigma(n)\varphi(n)\lt n^2$が成立することを証明すればよく,$\sigma(n)\varphi(n)$$n^2$が乗法的関数であることから素数$p$と自然数$a$を用いて$n=p^a$となる場合で示せばよい.
$\sigma(n)\varphi(n)=\sigma(p^a)\varphi(p^a)=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}\cdot (p-1)p^{a-1}=p^{2a}-p^{a-1}\leq p^{2a}-1\lt (p^a)^2=n^2$
となり2以上の自然数$n$で成立する.

以下の不等式が成立する.
$$\prod_{d\vert n}\sigma(d)\geq \sigma(n^\frac{d(n)-2}{2})\sigma(n)$$

証明には定理1と定理2を使う.
$$\prod_{d\vert n}\sigma(d)=\sigma(1)\underbrace{ \cdots \cdots \cdots}_{ (d(n)-2)個} \sigma(n)$$
であるから
$\sigma(1)\underbrace{ \cdots \cdots \cdots}_{ (d(n)-2)個} \sigma(n)\geq\sigma(n^\frac{d(n)-2}{2})\sigma(n)$
となる.よって
$$\prod_{d\vert n}\sigma(d)\geq \sigma(n^\frac{d(n)-2}{2})\sigma(n)$$
が示せた.

因みに,定理2から$n^\frac{d(n)-2}{2}$$n$は互いに素ではないので
$\sigma(n^\frac{d(n)-2}{2})\sigma(n)\gt \sigma(n^\frac{d(n)}{2})$
となるが,評価はできるだけ正確な方が良い.

投稿日:2022312

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約数関数、数列関係の記事を中心に書いていきます。 記事の内容に間違いがあれば教えてくれるとありがたいです。

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