文献あり

区分求積法

こちらはNPO法人数学カフェのイベント「はじめての数学ブログ」で利用するためのデモ記事です．

次の公式は，定積分の値に計算においてしばしば有効に機能する．

区分求積法

閉区間 $I = [0, 1]$ 上連続な函数 $f$ は積分可能で，
$\int_{0}^{1} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n}) .$

これを用いて，積分を計算してみよう．

区分求積法による計算例

函数 $f (x) = x^{2}$ は区間 $I = [0, 1]$ 上連続で，
$\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} {(\frac{k}{n})}^{2} = \frac{1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}}{n^{3}} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6 n^{3}},$
したがって
$\int_{0}^{1} x^{2} d x = lim_{n \to \infty} \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6 n^{3}} = lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{6} = \frac{1}{3} .$