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高校数学解説
文献あり

区分求積法

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

こちらはNPO法人数学カフェのイベント「はじめての数学ブログ」で利用するためのデモ記事です.

次の公式は,定積分の値に計算においてしばしば有効に機能する.

区分求積法

閉区間 $I = [0,1]$ 上連続な函数 $f$ は積分可能で,
$$ \int_0^1 f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n f\left( \frac{k}{n} \right). $$

これを用いて,積分を計算してみよう.

区分求積法による計算例

函数 $f(x) = x^2$ は区間 $I = [0,1]$ 上連続で,
$$ \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^2 = \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{n^3} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}, $$
したがって
$$ \int_0^1 x^2 dx = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6} = \frac{1}{3}. $$

$ \begin{align} a & = b \\ & = c \end{align}$

$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{lrc} 01 & 03 & 02 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray} $

参考文献

[1]
杉浦光夫, 解析入門1, 東京大学出版会
投稿日:2022312

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投稿者

龍孫江
龍孫江
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代数学(群論・環論・体論)の問題を解説するYouTubeチャンネル「龍孫江の数学日誌」を運営しております(リンクからどうぞ).YouTubeでは扱いきれないまとまった記事を書いていきたいと思います.どうぞご贔屓に.

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