Cauchy-Schlömilch変換と自己逆関数による一般化
内容
この記事では、積分計算で使える(かもしれない)Cauchy-Schlömilch変換の内容と具体的、そしてその一般化について説明します。これは、よくある気持ち良い積分の一般化みたいなものです。高度な議論はしません。
Cauchy-Schlömilch変換
$a,b>0$で、$f$は連続関数とする。以下の収束する積分についての等式が成り立つ。
$$
\begin {aligned}
\int _{0}^{\infty }f\left (\left (ax-\frac {b}x\right )^2\right )dx&=\frac {1}a\int _{0}^{\infty }f\left (x^{2}\right )dx
\end {aligned}
$$
$$ \begin {aligned} I&:=\int _{0}^{\infty }f\left (\left (ax-\frac {b}x\right )^2\right )dx\\ &=\int _{0}^{\infty }f\left (\left (ax-\frac {b}x\right )^2\right )\frac {b}a\frac {dx}{x^{2}}\quad \left (x\mapsto \frac {b}{ax}\right )\\ 2I&=\int _{0}^{\infty }f\left (\left (ax-\frac {b}x\right )^2\right )\left (1+\frac {b}{ax^{2}}\right )dx\\ I&=\frac {1}{2a}\int _{0}^{\infty }f\left (\left (ax-\frac {b}x\right )^2\right )\left (a+\frac {b}{x^{2}}\right )dx\\ &=\frac {1}{2a}\int _{-\infty }^{\infty }f\left (t^2\right )dt\quad \left (t=ax-\frac {b}x\right )\\ &=\frac {1}{a}\int _{0}^{\infty }f\left (t^{2}\right )dt\quad\boxed{} \end {aligned} $$
具体例
$$
\begin {aligned}\\
\int _{0}^{\infty }\frac {x^{2}+x^{4}}{1+x^{6}}dx
&=\int _{0}^{\infty }\frac {\left (1+x^{2}\right )x^2}{\left (1+x^{2}\right )\left (1-x^{2}+x^{4}\right )}dx\\
&=\int _{0}^{\infty }\frac {dx}{x^{2}-1+x^{-2}}\\
&=\int _{0}^{\infty }\frac {dx}{\textcolor{red}{\left (x-\frac {1}x\right )^2}+1}\\
&=\int _{0}^{\infty }\frac {dx}{\textcolor{red}{x^{2}}+1}\\
&=\left .\arctan x\right |_0^\infty \\
&=\textcolor {blue}{\frac {\pi }2}.
\end {aligned}
$$
$$
\begin {aligned}
\alpha>0\text{のとき}&\\
\int _{-\infty }^{\infty }\cos \left (x^{2}+\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}\right )dx&=2\int _{0}^{\infty }\cos \left (\left (x-\frac {\alpha }x\right )^2+2\alpha \right )dx\\
&=2\int _{0}^{\infty }\cos \left (x^{2}+2\alpha \right )dx\\
&=\int _{-\infty }^{\infty }\left (\cos \left (2\alpha \right )\cos x^{2}-\sin \left (2\alpha \right )\sin x^{2}\right )dx\\
&=\textcolor {blue}{\sqrt {\frac {\pi }2}\left (\cos 2\alpha -\sin 2\alpha \right )}.
\end {aligned}
$$
二つ目の積分は、積分botさんが投稿しています。
self-inverse function
日本語では自己逆関数？でしょうか。
追記:
対合(involution)ですね.
(追記おわり)
今回重要となるのは次のような場合です。
$f:\R^+\to \R^+$が単調減少な連続関数で、$\forall x \in \R^+\ f^{-1}(x)=f(x)\cdots(\star )$
このような関数は以下の手順で探すことができます。
x,yについて対称な方程式を立てる
例えば
$$
xy=x+y
$$
について考えます。$y$について解くと
$$y=\frac{x}{x-1}$$
ですが、$x>1(y>1)$で連続なので、定義域をずらす必要があります。
全単射で定義域をずらす
ここで$x\mapsto e^x,y\mapsto e^y$とすれば
$$
\begin {aligned}
e^{y}&=\frac {e^x}{e^x-1}\\
y&=x-\ln \left (e^x-1\right )
\end {aligned}
$$
が条件$(\star)$を満たすことが分かります。
Cauchy-Schlömilch変換の一般化
前述のself-inverseな関数を使った変換に一般化します。
$a>1$,$f$は連続関数で、$s(x)$が$(\star)$を満たすとする。このとき以下の収束する積分についての等式が成り立つ。
$$
\begin {aligned}
\int _{0}^{\infty }f\left (\left (ax-s\left (ax\right )\right )^2\right )dx&=\frac{1}a \int _{0}^{\infty }f\left (x^{2}\right )dx
\end {aligned}
$$
$$ \begin {aligned} I&:=\int _{0}^{\infty }f\left (\left (ax-s\left (ax\right )\right )^2\right )dx\\ &=-\int _{0}^{\infty }f\left (\left (ax-s\left (ax\right )\right )^2\right )s'(ax)dx\quad \left (x\mapsto \frac {s\left (ax\right )}a\right )\\ 2I&=\int _{0}^{\infty }f\left (\left (ax-s\left (ax\right )\right )^2\right )\left (1-s'\left (ax\right )\right )dx\\ I&=\frac {1}{2a}\int _{0}^{\infty }f\left (\left (ax-s\left (ax\right )\right )^2\right )\left (a-as'(ax)\right )dx\\ &=\frac {1}{2a}\int _{-\infty }^{\infty }f\left (t^{2}\right )dt\quad \left(t=ax-s\left (ax\right )\right )\\ &=\frac {1}a\int _{0}^{\infty }f\left (t^{2}\right )dt\quad\boxed{} \end {aligned} $$
これにおいて$a=1,s(x)=x-\ln\left(e^x-1\right)$とすれば、
$$
\begin {aligned}
\int _{0}^{\infty }f\left (\ln ^{2}\left (e^{x}-1\right )\right )dx&=\int _{0}^{\infty }f\left (x^{2}\right )dx
\end {aligned}
$$
が得られます。
