Cauchy-Schlömilch変換と自己逆関数による一般化

内容

この記事では、積分計算で使える(かもしれない)Cauchy-Schlömilch変換の内容と具体的、そしてその一般化について説明します。これは、よくある気持ち良い積分の一般化みたいなものです。高度な議論はしません。

Cauchy-Schlömilch変換

具体例

$$\begin{array}{r}\\ {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^2+x^4}{1+x^6}dx& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{(1+x^2)x^2}{(1+x^2)(1-x^2+x^4)}dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^2-1+x^{-2}}\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{{(x-\frac{1}{x})}^2+1}\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^2+1}\\ & ={\arctan x|}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{\pi }{2}.\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}\alpha >0\text{のとき}& \\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cos (x^2+\frac{{\alpha }^2}{x^2})dx& =2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\cos ({(x-\frac{\alpha }{x})}^2+2\alpha )dx\\ & =2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\cos (x^2+2\alpha )dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\cos \left(2\alpha \right)\cos x^2-\sin \left(2\alpha \right)\sin x^2)dx\\ & =\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\cos 2\alpha -\sin 2\alpha ).\end{array}$$
二つ目の積分は、積分botさんが投稿しています。

self-inverse function

日本語では自己逆関数？でしょうか。

追記:
対合(involution)ですね.
(追記おわり)

今回重要となるのは次のような場合です。

このような関数は以下の手順で探すことができます。

x,yについて対称な方程式を立てる

例えば
$$xy=x+y$$
について考えます。$y$について解くと
$$y=\frac{x}{x-1}$$
ですが、$x>1(y>1)$で連続なので、定義域をずらす必要があります。

全単射で定義域をずらす

ここで$x\mapsto e^x,y\mapsto e^y$とすれば
$$\begin{array}{rl}{e}^y& =\frac{e^x}{e^x-1}\\ y& =x-\ln (e^x-1)\end{array}$$
が条件$(\star )$を満たすことが分かります。

Cauchy-Schlömilch変換の一般化

前述のself-inverseな関数を使った変換に一般化します。

これにおいて$a=1,s(x)=x-\ln (e^x-1)$とすれば、
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f({\ln }^2(e^x-1))dx& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(x^2\right)dx\end{array}$$
が得られます。