自作問題No.37'(誘導あり)

問題

$xyz$空間内において、曲面$K$と平面$\alpha,\beta$をそれぞれ以下のように定める。
$$K:x^2+y^2=z^2,\ \alpha:z=ty-t+1,\ \beta:z=1$$
ただし、$t$は$0< t<1$を満たす実数であるとする。また、曲面$K$と平面$\beta$で囲まれる部分の立体を$C$、立体$C$と平面$\alpha$が交わってできる図形を$E$とおく。

(1)図形$E$は楕円の周および内部であることを示せ。

(2)図形$E$を$z$軸のまわりに一回転してできる立体$D$の体積$V(t)$を求めよ。

(3)$V(t)$の最大値を求めよ。