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自作問題No.37'(誘導あり)

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問題

$xyz$空間内において、曲面$K$と平面$\alpha,\beta$をそれぞれ以下のように定める。
$$K:x^2+y^2=z^2,\ \alpha:z=ty-t+1,\ \beta:z=1$$
ただし、$t$$0< t<1$を満たす実数であるとする。また、曲面$K$と平面$\beta$で囲まれる部分の立体を$C$、立体$C$と平面$\alpha$が交わってできる図形を$E$とおく。

(1)図形$E$は楕円の周および内部であることを示せ。

(2)図形$E$$z$軸のまわりに一回転してできる立体$D$の体積$V(t)$を求めよ。

(3)$V(t)$の最大値を求めよ。

投稿日:2022320
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Tokyo Tech 22B理学院 作問サークル(非公式)所属。 主に高校数学の自作問題を投稿します。 まれに問題の解答例、解説を書くこともあります。

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