自作問題No.39

問題

同一平面上に直線$l$と直角三角形$\mathrm{ABC}$があり、直角三角形$\mathrm{ABC}$の斜辺の長さは2、他辺のうち一方の長さは1である。3頂点$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$から直線$l$に下ろした垂線の長さをそれぞれ$L_\mathrm{A},L_\mathrm{B},L_\mathrm{C}$とし、$L=L_\mathrm{A}^2+L_\mathrm{B}^2+L_\mathrm{C}^2$と定めるとき、$L$の最小値を求めよ。ただし、直線$l$が頂点$\mathrm{A}$または頂点$\mathrm{B}$または頂点$\mathrm{C}$を通るとき、それぞれ$L_\mathrm{A}=0,L_\mathrm{B}=0,L_\mathrm{C}=0$とする。