自作問題No.39

問題

同一平面上に直線$l$と直角三角形$\mathrm{ABC}$があり、直角三角形$\mathrm{ABC}$の斜辺の長さは2、他辺のうち一方の長さは1である。3頂点$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$から直線$l$に下ろした垂線の長さをそれぞれ$L_{\mathrm{A}},L_{\mathrm{B}},L_{\mathrm{C}}$とし、$L=L_{\mathrm{A}}^2+L_{\mathrm{B}}^2+L_{\mathrm{C}}^2$と定めるとき、$L$の最小値を求めよ。ただし、直線$l$が頂点$\mathrm{A}$または頂点$\mathrm{B}$または頂点$\mathrm{C}$を通るとき、それぞれ$L_{\mathrm{A}}=0,L_{\mathrm{B}}=0,L_{\mathrm{C}}=0$とする。