自作問題No.42

問題

正の実数$a,r$に対して、$xy$平面上で楕円$E:\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$に円$C:(x-1)^2+y^2=r^2$が相異なる2点で内接しているとする。次の問に答えよ。

(1)$a$を$r$を用いて表せ。

(2)$a,r$のとりうる値の範囲はそれぞれ$a_0< a,r_0< r< r_1$と表される。$a_0,r_0,r_1$の値をそれぞれ求めよ。

(3)楕円$E$の$x>0$の部分と円$C$で囲まれる図形を、$x$軸のまわりに一回転させてできる立体の体積$V(r)$を$r$を用いて表せ。

(4)(3)の$V(r)$に対して、$\displaystyle\lim_{r\to r_1-0}(r_1-r)^{\alpha}V(r)$が0でない有限値に収束するように実数$\alpha$の値を定め、またそのときの極限値$A$を求めよ。

(5)(4)の極限値$A$に対して、$\displaystyle\lim_{r\to r_1-0}(r_1-r)^{\beta}\{A-(r_1-r)^{\alpha}V(r)\}$が0でない有限値に収束するように実数$\beta$の値を定め、またそのときの極限値$B$を求めよ。