自作問題No.43

問題

$n$を0以上の整数として、$a_n={\displaystyle {\int }_0^2{x}^n\sqrt{4-x^2}dx}$とおくとき、以下の問に答えよ。

(1)$a_{2n}$と$a_{2n+1}$をそれぞれ$n$を用いて表せ。

(2)${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_{2n}}}$を求めよ。