自作問題No.43

問題

$n$を0以上の整数として、$a_n=\displaystyle\int_{0}^{2}x^n\sqrt{4-x^2}dx$とおくとき、以下の問に答えよ。

(1)$a_{2n}$と$a_{2n+1}$をそれぞれ$n$を用いて表せ。

(2)$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{2n}}$を求めよ。