自作問題No.44

問題

$\angle\mathrm{CAB}=90^{\circ}$かつ$\mathrm{AB}=1$である直角三角形$\mathrm{ABC}$を考える。辺$\mathrm{CA}$を直径とする円を$C_1$とおき、辺$\mathrm{AB}$、辺$\mathrm{BC}$、円$C_1$にそれぞれ点$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$で接する円を$C_2$とおく。また、円$C_1,C_2$の共通接線のうち点$\mathrm{R}$を通るものを$l$とし、直線$l$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{S}$とする。

(1)3点$\mathrm{C},\mathrm{R},\mathrm{P}$は一直線上にあることを示せ。

(2)$\mathrm{CA}=\mathrm{CQ}$を示せ。

(3)円$C_2$の面積$U$と三角形$\mathrm{ABC}$の面積$T$の比$\displaystyle\frac{U}{T}$の最大値を求めよ。