自作問題No.45

問題

1でない正の実数$t$に対して、$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$の内部に$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{AP}},\overrightarrow{\mathrm{BR}}=t\overrightarrow{\mathrm{BQ}},\overrightarrow{\mathrm{CP}}=t\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を満たす3点$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$をとる。また、$\mathrm{△}\mathrm{PQR}$の面積$S(t)$と$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$の面積$T(t)$の比を$r(t)={\displaystyle \frac{S(t)}{T(t)}}$とおくとき、次の問に答えよ。

(1)$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$の重心と$\mathrm{△}\mathrm{PQR}$の重心は一致することを示せ。

(2)$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$が正三角形であることは、$\mathrm{△}\mathrm{PQR}$が正三角形であるための必要十分条件であることを示せ。

(3)極限${\displaystyle \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}(r(t){)}^t}$を求めよ。