自作問題No.45

問題

1でない正の実数$t$に対して、$\triangle\mathrm{ABC}$の内部に$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{AP}},\overrightarrow{\mathrm{BR}}=t\overrightarrow{\mathrm{BQ}},\overrightarrow{\mathrm{CP}}=t\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を満たす3点$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$をとる。また、$\triangle\mathrm{PQR}$の面積$S(t)$と$\triangle\mathrm{ABC}$の面積$T(t)$の比を$r(t)=\displaystyle\frac{S(t)}{T(t)}$とおくとき、次の問に答えよ。

(1)$\triangle\mathrm{ABC}$の重心と$\triangle\mathrm{PQR}$の重心は一致することを示せ。

(2)$\triangle\mathrm{ABC}$が正三角形であることは、$\triangle\mathrm{PQR}$が正三角形であるための必要十分条件であることを示せ。

(3)極限$\displaystyle\lim_{t\to\infty}(r(t))^t$を求めよ。