【対称式】x^n+y^n+z^nの漸化式の美しい証明

$x,y,z$は3次方程式$t^3-p{t}^2+qt-r=0$の解であるから，次が成立する
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{x}^3-p{x}^2+qx-r=0\\ y^3-p{y}^2+qy-r=0\\ z^3-p{z}^2+qz-r=0\end{array}\end{array}$$
それぞれ，$x^{n-3},y^{n-3},z^{n-3}$を両辺に掛けて
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{x}^n-p{x}^{n-1}+q{x}^{n-2}-r{x}^{n-3}=0\\ y^n-p{y}^{n-1}+q{y}^{n-2}-r{y}^{n-3}=0\\ z^n-p{z}^{n-1}+q{z}^{n-2}-r{z}^{n-3}=0\end{array}\end{array}$$
これらを辺々足して整理すると，
$S_n=p{S}_{n-1}-q{S}_{n-2}+r{S}_{n-3}$
を得る

$f(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_m)$とする。
$f(x)$を展開したとき，$x^{n-k}(k=1,2,\dots ,m)$の係数は，$-x_1,-x_2,\dots ,-x_m$から$k$個選んでかけ合わせたものをすべてを足し合わせたものであるから，$(-1{)}^k{e}_k$. よって，
$$f(x)=x^m+\sum _{k=1}^m(-1{)}^k{e}_k{x}^{m-k}$$
$k=1,2,\dots ,m$に対し，$f(x_k)=0$なので，
$$x_k^m+\sum _{k=1}^m(-1{)}^k{e}_k{x}_k^{m-k}=0$$
両辺に$x_k^{n-m}$を掛けて
$$x_k^n+\sum _{k=1}^m(-1{)}^k{e}_k{x}_k^{n-k}=0$$
$k=1,2,\dots ,m$について辺々足して
$$S_n+\sum _{k=1}^m(-1{)}^k{e}_k{S}_{n-k}=0\therefore S_n=\sum _{k=1}^m(-1{)}^{k-1}{e}_k{S}_{n-k}$$