先日Wikipediaの
こちらの記事
で次のような式を見つけました
今回はこれを一般化した主張
を思いついたので、証明していきたいと思います。
(実際に、この式でとすればとなって最初の式と一致します)
区別できる個のボールを、の計色で塗り分けることを考える(のうち使われない色があってもよいものとする)。ただし、このとき色で塗られるボールがちょうど()個であるようにする。このような方法を通りで数え上げる。
(通りめ)
色で塗られるボールをはじめに選ぶ方法は通り。
残りの個のボールを色で塗り分ける方法は、つのボールにつき通りの色の選択があることから通り。
よって、ボールの塗り分け方は通り。
(通りめ)
の色で塗られるボールが(個であるとする。
はじめに個のボールを選ぶ方法は通り。
この個のボールの中から色で塗られる個のボールを選ぶ方法は通り。
個のボールのうち色で塗られない個のボールを塗り分ける方法は通り。
個のボールのうち残りの個のボールを、残りの色で塗り分ける方法は通り。
以上より、はちょうどを動くから、ボールの塗り分け方は
通り。
以上から、題意は示された。
この式の右辺がによらないのが興味深いですね。
ここまで読んでくださりありがとうございました!