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高校数学解説
文献あり

5^πが整数でないことの証明 その1 5^π>156を証明する

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5π>156を証明せよ。(国際信州学院大学'22改)

序文

Wolfram|Alphaで計算すると5π=156.992となり人力で証明するのは難しそうですが、奇跡的な数字のマジックにより解くことができます。

指針

π227,log1050.7が利用できないか調べる。これで5πを近似すると、

5π5227102.2=104.2256102=156.25

となり、使えそうである。

実際にはπ>227,log105<0.7すなわち10>510.7であるから、

156.25=56102<56520.7=56207=5227>5π

となり役に立たない。しかし、log105<0.699を使用すれば、10.699>1.43より、

156.25=56102<56520.699<5652.86=562.86=53.14<5π

となり題意が示せる。

あとはlog105<0.699を示すためにlog102>0.301を示せばよい。

解答

まず、log102>0.301を示すために、両辺を10倍したlog101024>3.01を示す。

log101024=log101000+log101.024=3+log101.024

であるから、log101.024>0.01=1100を示せばよい。

1.024100=(1.0242)50=(1+0.048+0.000576)50=1.04857650>1.048550=(1+0.04852+0.04852)50>(1+0.097+0.002)25(0.0020=0.025<0.045)=1.09925=((1.10.001)5)5>(1.1551.140.001101.130.00124)5(1.13)=(1.6105151.46410.001401.3310.0012)5=(1.610510.0080.00006)5>1.65=(2410)5=220105>106105=10

が成り立つ。したがって、100log101.024>1であるから、log101.024>0.01およびlog102>0.301が示された。

よって、log105=1log102<0.699であるから、

156.25=56102<56520.699<5652.86=562.86=53.14<5π

となり題意が示された。

あとがき

この方法は56102<5πという奇跡的な数字のマジックの上に成り立っているので、同様の方法で5π<157を示すことはおそらく不可能です。その代わり、人力でできるほぼ限界のレベルの数値計算で解くことはできそうなので、それについてはそのうち書きます。

参考文献

投稿日:2022415
OptHub AI Competition

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nayuta_ito
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