$ 5^{\pi} > 156 $を証明せよ。(国際信州学院大学'22改)
Wolfram|Alphaで計算すると$ 5^{\pi} = 156.992\cdots $となり人力で証明するのは難しそうですが、奇跡的な数字のマジックにより解くことができます。
$ \pi \fallingdotseq \frac{22}{7}, \log_{10}5 \fallingdotseq 0.7 $が利用できないか調べる。これで$ 5^{\pi} $を近似すると、
$$ 5^{\pi} \fallingdotseq 5^{\frac{22}{7}} \fallingdotseq {10}^{2.2} = {10}^{4.2 - 2} \fallingdotseq \frac{5^6}{{10}^2} = 156.25 $$
となり、使えそうである。
実際には$ \pi > \frac{22}{7}, \log_{10}5 < 0.7 $すなわち$ 10 > 5^{\frac{1}{0.7}} $であるから、
$$ 156.25 = \frac{5^6}{{10}^2} < \frac{5^6}{5^{\frac{2}{0.7}}} = 5^{6 - \frac{20}{7}} = 5^{\frac{22}{7}} > 5^{\pi} $$
となり役に立たない。しかし、$ \log_{10}5 < 0.699 $を使用すれば、$ \frac{1} {0.699} > 1.43 $より、
$$ 156.25 = \frac{5^6}{{10}^2} < \frac{5^6}{5^{\frac{2}{0.699}}} < \frac{5^6}{5^{2.86}} = 5^{6-2.86} = 5^{3.14} < 5^{\pi} $$
となり題意が示せる。
あとは$ \log_{10}5 < 0.699 $を示すために$ \log_{10}2 > 0.301 $を示せばよい。
まず、$ \log_{10}2 > 0.301 $を示すために、両辺を$ 10 $倍した$ \log_{10}{1024} > 3.01 $を示す。
$$ \log_{10}{1024} = \log_{10}{1000} + \log_{10}{1.024} = 3 + \log_{10}{1.024} $$
であるから、$ \log_{10}{1.024} > 0.01 = \frac{1}{100} $を示せばよい。
\begin{align} & {1.024}^{100} \\ =& \left({1.024}^2\right)^{50} \\ =& \left(1 + 0.048 + 0.000576\right)^{50} \\ =& {1.048576}^{50} \\ >& {1.0485}^{50} \\ =& \left(1 + 0.0485 \cdot 2 + {0.0485}^2\right)^{50} \\ >& \left(1 + 0.097 + 0.002\right)^{25} (\because \sqrt{0.0020} = 0.02\sqrt{5} < 0.045) \\ =& {1.099}^{25} \\ =& \left(\left(1.1 - 0.001\right)^5\right)^5 \\ >& \left(1.1^5 - 5 \cdot 1.1^4 \cdot 0.001 - 10 \cdot {1.1}^3 \cdot {0.001}^2 \cdot 4 \right)^5 (\because 二項定理、{1.1}^3以下の項は全部まとめた) \\ =& \left(1.61051 - 5 \cdot 1.4641 \cdot 0.001 - 40 \cdot 1.331 \cdot {0.001}^2 \right)^5 \\ =& \left(1.61051 - 0.008 - 0.00006 \right)^5 \\ >& {1.6}^5 \\ =& \left(\frac{2^4}{10}\right)^5 \\ =& \frac{2^{20}}{{10}^5} \\ >& \frac{{10}^6}{{10}^5} \\ =& 10 \end{align}
が成り立つ。したがって、$ 100 \log_{10}{1.024} > 1 $であるから、$ \log_{10}{1.024} > 0.01 $および$ \log_{10}2 > 0.301 $が示された。
よって、$ \log_{10}5 = 1 - \log_{10}2 < 0.699 $であるから、
$$ 156.25 = \frac{5^6}{{10}^2} < \frac{5^6}{5^{\frac{2}{0.699}}} < \frac{5^6}{5^{2.86}} = 5^{6-2.86} = 5^{3.14} < 5^{\pi} $$
となり題意が示された。
この方法は$ \frac{5^6}{{10}^2} < 5^{\pi} $という奇跡的な数字のマジックの上に成り立っているので、同様の方法で$ 5^{\pi} < 157 $を示すことはおそらく不可能です。その代わり、人力でできるほぼ限界のレベルの数値計算で解くことはできそうなので、それについてはそのうち書きます。