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高校数学解説
文献あり

5^πが整数でないことの証明 その2 5^π<157を証明する

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注意事項: この記事では多量の数値計算を必要とします。手元にそろばんをご用意ください。全珠連で初段、日珠連で2級以上の計算能力があるなら十分だと思います。

注意事項: この記事では厘未満の小数の単位を扱います。どの単位がどの数を表すかについては 巨大数研究Wiki などでご確認ください。

5π<157を証明せよ。(国際信州学院大学'22改)

準備

1<x<1のとき、次の式が成り立つことおよび級数が絶対収束することは既知とします。

ln(1+x)=01x0+11x112x2+13x3=xx22+x33

(中辺は各項でどこが変化しているかを見やすくした形、右辺はxとの差分を見やすくした形です)

誤差項の評価

0<x<1とします。

真数が1より小さい場合

ln(1x)=+01x0+11x1+12x2+13x3+

n次の項で打ち切った残りは、

1n+1xn+1+1n+2xn+2+1n+3xn+3+<1n+1xn+1+1n+1xn+2+1n+1xn+2+=1n+1(xn+1+xn+2+xn+3+)=1n+1xn+11x

と評価できます。特に、x=1tと書ける場合、

0<1n+1xn+1+1n+2xn+2+1n+3xn+3+<1n+1(1+1t1)xn+1

と表されます。この形は後で使います。

真数が1より大きい場合

ln(1+x)=01x0+11x112x2+13x3

n次の項で打ち切った残りは、

±1n+1xn+11n+2xn+2±1n+3xn+3
(全て複号同順)

と符号が交互に並ぶため簡単には評価できません。しかし、絶対値を取ると上と同じ形になるので、

0|±1n+1xn+11n+2xn+2±1n+3xn+3|<1n+1xn+11x

と表されます。

また、0<x<0.5であればn+2次以降の項の和の絶対値は1n+22xn+2<1n+1xn+1を超えることはなく、したがって左中辺間の等号が成り立つことがないこともわかりますね。

さあ、計算の時間だ!

都合により、最初にln2を求めます。

ln2=3ln(115)+ln(1+3125)

が成り立つことが簡単な計算によりわかるので、右辺のそれぞれの項を計算します。

でも、どこまで計算するの?

Wolfram|Alphaによると、

ln5π=5.056198322ln157=5.056245805

となり、5忽程度の差があるようです。ということは、ln5の誤差は1忽程度にしたいですね。そのために、ln(115)ln(1+3125)を6桁の精度で近似したいので、級数の各項を7桁の精度で近似します。

よし、計算だ

ln(115)を求める

ln(1x)の級数にx=15を代入して変形すると、

ln(115)=0.211+0.222+0.233+

となります。計算しましょう。

0.211=0.21=0.20000000.222=0.042=0.02000000.233=0.0083=0.00266660.244=0.00164=0.00040000.255=0.000325=0.00006400.266=0.0000646=0.00001060.277=0.00001287=0.00000180.288=0.000002568=0.0000003

右辺の沙以下の位を切り捨てて全部足すと、0.2231433となります。ここからは誤差を評価します。

切り捨てた部分の合計を抑えるためにもう1桁だけ計算します。塵未満を切り捨てて沙の位だけ足すと、

0+0+7+0+0+7+3+2=19

となり、2繊で上から抑えられます(ここだけは精度を高く取りたいのでこのような計算をしました)。
また、9次以降の部分は

19540.29=0.000000512×1.259<0.000000072

となり、8沙で抑えられます。これらを足すと、2繊8沙となり、

0.2231433<ln(115)<0.22314358

と評価できます。

ln(1+3125)を求める

上と同様の手順で計算します。

ln(1+3125)=0.024110.02422+0.02433

符号が交互に変わることに注意しましょう。

+0.02411=+0.0241=+0.02400000.02422=0.0005762=0.0002880+0.02433=+0.0000138243=+0.0000046

沙以下の位を切り捨てた3つの合計は0.0237166です。誤差を評価します。

切り捨ての誤差は-1~2繊で抑えられ、4次以降の部分の絶対値は

1410.9760.0244<0.260.0244=(0.260.024)0.0243<0.006314<9

なので、

0.02371641<ln(1+3125)<0.02371689

となります。

ln5πを求める

ln2=3ln(115)+ln(1+3125)

なので、

30.2231433+0.02371641=0.69314631
30.22314358+0.02371689=0.69314763

となり、ln2を1微3繊2沙の精度で近似できました。上限も下限も使うので両方必要です。

ln(115)=ln45=ln54=ln52ln2$ -\ln\left(1 - \frac{1}{5}\right) + 2 \ln{2} = \ln{5} 0.\hspace{1.5mm}223\hspace{1.5mm}143\hspace{1.5mm}3 + 2 \cdot 0.\hspace{1.5mm}693\hspace{1.5mm}146\hspace{1.5mm}31 = 1.\hspace{1.5mm}609\hspace{1.5mm}435\hspace{1.5mm}92 0.\hspace{1.5mm}223\hspace{1.5mm}143\hspace{1.5mm}58 + 2 \cdot 0.\hspace{1.5mm}693\hspace{1.5mm}147\hspace{1.5mm}63 = 1.\hspace{1.5mm}609\hspace{1.5mm}438\hspace{1.5mm}84 6976 1.\hspace{1.5mm}609\hspace{1.5mm}438\hspace{1.5mm}84 \times 3.\hspace{1.5mm}141\hspace{1.5mm}592 = 5.\hspace{1.5mm}056\hspace{1.5mm}20 \cdots \ln{5^{\pi}} < 5.\hspace{1.5mm}056\hspace{1.5mm}21 ($5.056191$)$ln157$$5.056245805$4<h3>$ln157=ln(1603)$$f(x)=ln(160x)$$n$$1$$m>1$$ln(160x)$$m$ -\frac{(m-1)!}{{(160 - x)}^m} $f(x)$ -\frac{(n-1)!}{{(160 - c)}^n} \cdot \frac{x^n}{n!} = -\frac{x^n}{n \cdot {(160 - c)}^n} (0 < c < x) $0<x<80$$x=3$ \ln{157} = \ln{160} - \frac{3^1}{1 \cdot {160}^1} - \frac{3^2}{2 \cdot {160}^2} - \frac{3^3}{3 \cdot {160}^3} - \cdots $n+1$ \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{160}{157} \cdot \left(\frac{3}{160}\right)^{n+1} \ln{160} = 5\ln{2} + \ln{5} > 5 \cdot 0.\hspace{1.5mm}693\hspace{1.5mm}146\hspace{1.5mm}31 + 1.\hspace{1.5mm}609\hspace{1.5mm}435\hspace{1.5mm}92 = 5.\hspace{1.5mm}075\hspace{1.5mm}167\hspace{1.5mm}47 なので、 \begin{align} &&\ln{160} &> +5.\hspace{1.5mm}075\hspace{1.5mm}167\hspace{1.5mm}47 \\ - \frac{3^1}{1 \cdot {160}^1} &&= -3 \div 160 &= -0.\hspace{1.5mm}018\hspace{1.5mm}750\hspace{1.5mm}00 \\ - \frac{3^2}{2 \cdot {160}^2} &&= -4.5 \div 25600 &= -0.\hspace{1.5mm}000\hspace{1.5mm}175\hspace{1.5mm}78\cdots \\ \end{align} となり、これら3つの数を足すと$5.\hspace{1.5mm}056\hspace{1.5mm}241\hspace{1.5mm}69$が得られます。 切り捨ての誤差は1沙で、$ 3 $次以降の項の合計の絶対値は \begin{align} & \frac{1}{4} \cdot \frac{160}{157} \cdot \left(\frac{3}{160}\right)^3 \\ <& \frac{1}{4} \cdot \frac{160}{157} \cdot {0.02}^3 \\ <& 0.26 \cdot 8微 \\ =& 2微8沙 \\ \end{align} なので、合計で2微9沙の誤差に抑えられます。 すなわち、 \ln{157} > 5.\hspace{1.5mm}056\hspace{1.5mm}239 <h3> \ln{5^{\pi}} < 5.\hspace{1.5mm}056\hspace{1.5mm}21 < 5.\hspace{1.5mm}056\hspace{1.5mm}239 < \ln{157} $$ なので、5π<157が示されました。 [前回の結果](https://mathlog.info/articles/3140)と合わせて、5πが整数でないことが証明できました!!!

参考文献

投稿日:2022417
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