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JMO2012本選問4を解こう(直交座標)

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そうだ,計算しよう-------
ということでJMO2012問4を直交座標で鮮やかに解きます.

問題

平面上に三角形PABPCDがある.PA=PB,PC=PDであり,P,A,CおよびB,P,Dはそれぞれこの順に同一直線上にある.A,Cを通る円S1B,Dを通る円S2が異なる2点X,Yで交わっているとする.このとき,三角形PXYの外心はS1の中心とS2の中心であることを示せ.
図

解いてみた

図形の自由度が高そうでさすが4番に置かれているだけあります.
図から明らかですが束の原理がぶっ刺さります.

直交座標

一致法で示す.すなわちS1S2の中点を中心とし,X,Yを通る円SPを通ることを示せば十分である.
a,cを正の実数としてP(0,0),B(a,0),D(c,0)とおく.
また,条件よりs2+t2=1を満たす正の実数s,tを用いてA(sa,ta),C(sc,tc)とおける.
S1:x2+y2+l1x+m1y+n1=0
S2:x2+y2+l2x+m2y+n2=0
とおくとS(S1)+(S2)2で表されるので,
S:x2+y2+l1+l22x+m1+m22y+n1+n22=0
ここでA,CS1上に,B,DS2上にあることより,次の4式が成り立つ.
{a2+l1sa+m1ta+n1=0c2+l1sc+m1tc+n1=0a2+l2a+n2=0c2l2c+n2=0
c×(1)a×(2)およびc×(3)+a×(4)より,
{ac(ac)(ac)n1=0ac(a+c)+(a+c)n2=0
ac,a+c0よりn1+n2=acac=0を得る.
したがってP(0,0)S上にある.これが示したいことであった.

中心の中点なので「式の中点」をとることでピンポイントで方程式を立式できるのがミソです.すごくないですかこれ?

投稿日:2022417
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natu
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複素座標入門を終わらせたら何するか悩んでます

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