そうだ,計算しよう-------ということでJMO2012問4を直交座標で鮮やかに解きます.
平面上に三角形PABとPCDがある.PA=PB,PC=PDであり,P,A,CおよびB,P,Dはそれぞれこの順に同一直線上にある.A,Cを通る円S1とB,Dを通る円S2が異なる2点X,Yで交わっているとする.このとき,三角形PXYの外心はS1の中心とS2の中心であることを示せ. 図
図形の自由度が高そうでさすが4番に置かれているだけあります.図から明らかですが束の原理がぶっ刺さります.
一致法で示す.すなわちS1S2の中点を中心とし,X,Yを通る円SがPを通ることを示せば十分である.a,cを正の実数としてP(0,0),B(a,0),D(−c,0)とおく.また,条件よりs2+t2=1を満たす正の実数s,tを用いてA(sa,ta),C(sc,tc)とおける.S1:x2+y2+l1x+m1y+n1=0S2:x2+y2+l2x+m2y+n2=0とおくとSは式式(S1式)+(S2式)2で表されるので,S:x2+y2+l1+l22x+m1+m22y+n1+n22=0ここでA,CがS1上に,B,DがS2上にあることより,次の4式が成り立つ.{a2+l1sa+m1ta+n1=0c2+l1sc+m1tc+n1=0a2+l2a+n2=0c2−l2c+n2=0第式第式c×(第1式)−a×(第2式)および第式第式c×(第3式)+a×(第4式)より,{ac(a−c)−(a−c)n1=0ac(a+c)+(a+c)n2=0a−c,a+c≠0よりn1+n2=ac−ac=0を得る.したがってP(0,0)がS上にある.これが示したいことであった.◻
中心の中点なので「式の中点」をとることでピンポイントで方程式を立式できるのがミソです.すごくないですかこれ?
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