JMO2012本選問4を解こう(直交座標)

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そうだ,計算しよう-------
ということでJMO2012問4を直交座標で鮮やかに解きます．

問題

平面上に三角形 $P A B$ と $P C D$ がある． $P A = P B, P C = P D$ であり, $P, A, C$ および $B, P, D$ はそれぞれこの順に同一直線上にある． $A, C$ を通る円 $S_{1}$ と $B, D$ を通る円 $S_{2}$ が異なる2点 $X, Y$ で交わっているとする．このとき,三角形 $P X Y$ の外心は $S_{1}$ の中心と $S_{2}$ の中心であることを示せ．
図

解いてみた

図形の自由度が高そうでさすが4番に置かれているだけあります．
図から明らかですが束の原理がぶっ刺さります．

直交座標

一致法で示す.すなわち $S_{1} S_{2}$ の中点を中心とし, $X, Y$ を通る円 $S$ が $P$ を通ることを示せば十分である．
$a, c$ を正の実数として $P (0, 0), B (a, 0), D (- c, 0)$ とおく．
また,条件より $s^{2} + t^{2} = 1$ を満たす正の実数 $s, t$ を用いて $A (s a, t a), C (s c, t c)$ とおける．
$S_{1} : x^{2} + y^{2} + l_{1} x + m_{1} y + n_{1} = 0$
$S_{2} : x^{2} + y^{2} + l_{2} x + m_{2} y + n_{2} = 0$
とおくと $S$ は $\frac{(S_{1} 式) + (S_{2} 式)}{2}$ で表されるので,
$S : x^{2} + y^{2} + \frac{l_{1} + l_{2}}{2} x + \frac{m_{1} + m_{2}}{2} y + \frac{n_{1} + n_{2}}{2} = 0$
ここで $A, C$ が $S_{1}$ 上に, $B, D$ が $S_{2}$ 上にあることより,次の4式が成り立つ．
$\begin{array}{r} {\begin{cases} a^{2} + l_{1} s a + m_{1} t a + n_{1} = 0 \\ c^{2} + l_{1} s c + m_{1} t c + n_{1} = 0 \\ a^{2} + l_{2} a + n_{2} = 0 \\ c^{2} - l_{2} c + n_{2} = 0 \end{cases} \end{array}$
$c \times (第 1 式) - a \times (第 2 式)$ および $c \times (第 3 式) + a \times (第 4 式)$ より,
$\begin{array}{r} {\begin{cases} a c (a - c) - (a - c) n_{1} = 0 \\ a c (a + c) + (a + c) n_{2} = 0 \end{cases} \end{array}$
$a - c, a + c \neq 0$ より $n_{1} + n_{2} = a c - a c = 0$ を得る．
したがって $P (0, 0)$ が $S$ 上にある．これが示したいことであった． $◻$