n-1EV :(

$f(x)$の変曲点を$k$とおく.$x\ge k$のとき,$f(x)$が凸となるときの最大値の場合について考える.
まずは,全てが$k$以下にならないとき,$a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_l\ge k\ge a_{l+1}\ge\cdots\ge a_n\ $として一般性を失わない.
まず,Karamataの不等式より以下の二つの不等式が成り立つ.
$$\sum_{i=1}^lf(a_i)\le(l-1)f(k)+f\left(a_1+\cdots+a_l-(l-1)k\right)\\ (l-1)f(k)+\sum_{i=l+1}^nf(a_i)\le(n-1)f\left(\frac{(l-1)k+a_{l+1}+\cdots+a_n}{n-1}\right)$$
これらより,
$$\sum_{i=1}^nf(a_i)\le f(a_1+\cdots+a_l-(l-1))+(n-1)f\left(\frac{(l-1)k+a_{l+1}+\cdots+a_n}{n-1}\right)$$
が成り立つ.ここで,$X=\dfrac{(l-1)k+a_{l+1}+\cdots+a_n}{n-1}$とおけば,$a_1+\cdots+a_l-(l-1)k=S-(n-1)X$であり,
$$\left\{\sum_{i=1}^nf(a_i)\Biggm\vert a_i\in\mathbb R,a_1+a_2+\cdots+a_n=S\right\}\supset \Biggl\{f(S-(n-1)X)+(n-1)f(X)\Biggm\vert X\le k\Biggr\}=\Biggr\{f(a_1+\cdots+a_l-(l-1)k)+(n-1)f\left(\frac{(l-1)k+a_{l+1}+\cdots+a_n}{n-1}\right)\Biggm\vert a_i\in\mathbb R,a_1+a_2+\cdots+a_n=S\Biggl\}$$
をみたす.
よって, $\displaystyle{\sum_{i=1}^nf(a_i)}$が最大値をとる時、
$$\sum_{i=1}^nf(a_i)=f(S-(n-1)X)+(n-1)f(X) $$
が成り立ち,これは$n-1$個の$a_i$が等しいことを意味する.

$k\ge a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n $であるとき,Karamataの不等式より,
$$\sum_{i=1}^nf(a_i)\le nf\left(\frac Sn\right)$$
が成り立ち,$n-1$個の$a_i$が等しいことを意味する.
以上より,$x\ge k$のとき,$f(x)$が凸となるときの最大値をとる場合は示された.
その他の場合は,同様に示される.

$e^x=\dfrac{bc}{a^2},e^y=\dfrac{ca}{b^2},e^z=\dfrac{ab}{c^2}$とおけば,$x+y+z=0$の下で,
$$\frac1{\sqrt{1+8e^x}}+\frac1{\sqrt{1+8e^y}}+\frac1{\sqrt{1+8e^z}}\ge1$$
を示せばよい.
$f(x)=\dfrac1{\sqrt{1+8e^x}}$とおけば,
$$f(x)+f(y)+f(z)\ge1$$
となる.ここで,
$$f''(x)=\frac{4e^x(4e^x-1)}{(1+8e^x)^{\frac52}}$$
であるから$f$は1つだけ変曲点を有する.よって,$n-1$EVより,$0< t$に対して,
$$\frac2{\sqrt{1+8t}}+\frac t{\sqrt{t+8}}\ge1$$
を示せばよい.後は単純な計算なので省く

$y_i=\dfrac{1998}{1998+x_i}$とおけば,$\displaystyle{\sum_{i=1}^ny_i}=1$の条件の下で,
\begin{equation*} \prod_{i=1}^n\left(\frac1{y_i}-1\right)\ge(n-1)^n \end{equation*}
を示せばよい.
両辺$\log$をとって,$f(x)=\log\left(\dfrac1{x}-1\right)$とおくと,
$$f(y_1)+f(y_2)+\cdots+f(y_n)\ge nf\left(\frac1n\right)$$
となる.ここで,
$$f''(x)=\dfrac{1-2x}{(x^2-x)^2}$$
であるから$f$は1つだけ変曲点を有する.よって$n-1$EVより,$0< t< 1$に対して,
$$(n-1)\log\left(\dfrac1t-1\right)+\log\left(\dfrac1{1-(n-1)t}-1\right)\ge n\log(n-1)$$
を示せばよい.あとは単純な計算なので省く.

$$f(y_1)+f(y_2)+\cdots+f(y_n)\ge nf\left(\frac1n\right)$$
を示すときにもし,考える範囲で常に凸なら,Karamataの不等式により一発で解けます.
変曲点が$\frac12$でなんとなくで成り立ちそうだなともあまり感じれません.そう考えると$n-1$EVは最小値が与えられていなくても解ける万能なテクニックなようにも感じられますね.